调和函数及其在物理学中的应用.docx

1 调和函数及其在物理学中的一些应用设)(zf 是个解析函数, iyxz??,令)( Im ),( ),( Re ),(zfyxvzfyxu??, 则称),(yxu 和),(yxv 是互为共轭函数. 由于 u 和v 的偏导数满足柯西—黎曼方程 y vx u?????,x vy u??????, 若u 和v 的二阶导数都存在, 且关于 x 和y 的二阶混合偏导数是可交换的,对柯西—黎曼方程求导数,即得 2 22 22y ux uyx v??????????, 2 22 22y vx vyx u???????????因此, u 和v 都满足二维的拉普拉斯(Laplace) 2 22 22????????yx ???. 我们称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数. 以后,我们会知道,解析函数)(zf 的实部),(yxu 和虚部),(yxv 都是调和函数. 这里我们自然要问:给定调和函数),(yxu 或),(yxv ,我们能否找到一个解析函数)(zf ,使得所给的),(yxu 或),(yxv 恰是)(zf 的实部或虚部?答案是可能的. 若给定的函数),(yxu 或),(yxv 是满足拉普拉斯方程的初等函数的一个简单组合,则这样的解析函数)(zf 实存在的. 这时用下述米尔—汤姆松(Milne-Tomson) 方法找是非常方便的. 由于)(2 1zzx??,)(2 1zzi y??, 2 )2 ,2 ()2 ,2 ()(i zzzz ivi zzzzuzf ??????, 我们可将这等式看成是两个独立变量 z 和z 的形式恒等式,置 zz?, 有)(zf =)0,()0,(z ivzu?. 根据柯西—黎曼方程, yxxx iuu ivuzf????)(' ,因此,若将 xu 和 yu 分别记为?? yx, 1?和?? yx, 2?,则我们有?)('zf?? yx, 1???? yx, 2?)0,()0,( 21ziz????. 将上式积分之,我们有 c dzzizzf????)}0,()0,({)( 21??,(1— 36) 其中 c 是个任意常数. 类似地,若),(yxu 是给定的,令 yvyx?),( 1?, xvyx?),( 2?,我们能证明: c dzzizzf????)}0,()0,({)( 21??,(1— 37) 其中 c 是个任意常数. 例如,设) sin cos (),(yyyxeyxu x??,则) cos sin cos ( 1yyyxxex u x???????,?? yyyyxey u x cos sin sin 2????????. 因此?)('zf?? 1)0,()0,( 21???zeziz z??, 故c zec dzzezf zz??????)1()( . 下面我们将讨论可用调和函数描述的一些物理现象. 3 一、定状态的热传导方程问题我们知道, 热通过物体的传导是能量被转移. 在物体内每一点处热能流动的时间比率能用向量来表示. 在一般情况下, 这个向量的长度和方向不随点的位置而变化, 而且还随时间而改变. 我们仅限于讨论稳定状态问题, 即着热流响亮与时间无关. 这样, 在物体内的热传导强度就由时间坐标的向量函数给出. 这样的函数通称为向量场. 在现在情况下,这个向量场成为热流密度场,记为 Q . 由于它与复变理论有紧密地联系, 我们这里只讨论二维热流问题, 这就是说, 这向量场中的向量都平行于某一个平面∏, 并且在垂直于∏的任何一条直线上所有的点处, 这个场中的向量( 就大小与方向来说) 都是相等的. 显然, 在所有的平行于∏的平面内, 这个向量场的情形都完全相同, 因此, 这个向量场可以由位于平面∏内的向量所构成的一个平面向量场来完全表示出来. 说到平面内的一条曲线, 是意味着一个柱面, 而一个区域是意味着一个柱体. 我们把平面∏看成复平面. 现在我们来讨论二维未定热流问题, 其边界去面如图 , 没有热量被这绝缘表面所吸收或散发,这平板侧面界面的某部分曲面余热原湘莲(它发出热能), 区域的曲面是绝缘的. 热能不可能流进人和绝缘的曲面. 这样,热能密度向量奖杯假定是与任何绝缘边界向切的. 由于假定热源和热沟的性质与坐标轴?是无关的, ?垂直于 xy 平面,所以,平板内的向量场Q 仅依赖于变量 x 和y . 平板上、下街面的绝缘性保证 Q 只有沿 x 轴 4 和y 轴的分量,就是说, Q 有分量),(yxQ x和),(yxQ y. 于是 Q 便可表示成下述复热流密度形式: ??),(yxqq ),(yxQ xi?),(yxQ y.( 1— 38) 其中,),(yxQ x和),(yxQ y 也都是复数 iyxz??的函数. 由此可见, 二维热能稳定热传