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调和函数及其在物理学中的应用
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调和函数及其在物理学中的一些应用
设是个解析函数，，令，那么称和是互为共轭函数.
由于和的偏导数满足柯西—黎曼方程
， ，
假设和的二阶导数都存在，且关于和的二阶混合偏导数是可交换的，对柯西—黎曼方程求导数，即得
，
因此，和都满足二维的拉普拉斯(Laplace)方程.
.
我们称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数. 以后，我们会知道，解析函数 的实部和虚部都是调和函数. 这里我们自然要问：给定调和函数或 ，我们能否找到一个解析函数，使得所给的或 恰是的实部或虚部？答案是可能的. 假设给定的函数或 是满足拉普拉斯方程的初等函数的一个简单组合，那么这样的解析函数实存在的. 这时用下述米尔—汤姆松(Milne-Tomson)方法找是非常方便的.
由于
，，
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，
我们可将这等式看成是两个独立变量和的形式恒等式，置，有
=.
根据柯西—黎曼方程，，因此，假设将和分别记为和，那么我们有
.
将上式积分之，我们有
， 〔1—36〕
其中是个任意常数.
类似地，假设是给定的，令，，我们能证明：
, 〔1—37〕
其中是个任意常数.
例如，设,那么
，.
因此
，
故
.
下面我们将讨论可用调和函数描述的一些物理现象.
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定状态的热传导方程问题
我们知道，热通过物体的传导是能量被转移. 在物体内每一点处热能流动的时间比率能用向量来表示. 在一般情况下，这个向量的长度和方向不随点的位置而变化，而且还随时间而改变. 我们仅限于讨论稳定状态问题，即着热流响亮与时间无关. 这样，在物体内的热传导强度就由时间坐标的向量函数给出. 这样的函数通称为向量场.
在现在情况下，这个向量场成为热流密度场，记为.
由于它与复变理论有严密地联系，我们这里只讨论二维热流问题，这就是说，这向量场中的向量都平行于某一个平面∏，并且在垂直于∏的任何一条直线上所有的点处，这个场中的向量〔就大小与方向来说〕都是相等的. 显然，在所有的平行于∏的平面内，这个向量场的情形都完全一样，因此，这个向量场可以由位于平面∏内的向量所构成的一个平面向量场来完全表示出来. 说到平面内的一条曲线，是意味着一个柱面，而一个区域是意味着一个柱体. 我们把平面∏看成复平面.
现在我们来讨论二维未定热流问题，. 这平板的上下界面被假定是完全绝缘的，没有热量被这绝缘外表所吸收或散发，这平板侧面界面的某局部曲面余热原湘莲〔它发出热能〕，区域的曲面是绝缘的. 热能不可能流进人和绝缘的曲面. 这样，热能密度向量奖杯假定是与任何绝缘边界向切的. 由于假定热源和热沟的性质与坐标轴是无关的，垂直于平面，所以，平板内的向量场
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仅依赖于变量和. 平板上、下街面的绝缘性保证只有沿轴和轴的分量，就是说，有分量和. 于是便可表示成下述复热流密度形式：
. 〔1—38〕
其中，和也都是复数 的函数. 由此可见，二维热能稳定热传导问题只与复数有关.
由于通过任何曲线的热能量是单位时间内通过该曲线的热能的流量，那么通过微分弧长的微分热流量为
， 〔1—39〕
其中，是在的外法线方向上的分量；积分
〔1—40〕
表示向量场经过曲线的热流量，其中是曲线的弧长的微分. 如果用和表示沿曲线的微分，那么，其中表示切于曲线的单位向量. 假设用表示垂直于曲线的单位向量，那么，于是，，所以，〔1—40〕是可以写成
. 〔1—41〕
热流量的面密度，记经过曲线