[精品]调和函数及其在物理学中的一些应用.doc

[精品]调和函数及其在物理学中的一些应用调和函数及其在物理学中的一些应用设是个解析函数,,令,f(z)u(x,y),Ref(z),v(x,y),Imf(z)z,x,(x,y)v(x,y)由于和的偏导数满足柯西—黎曼方程uv,u,v,u,v,,,,,,x,y,y,x若和的二阶导数都存在,且关于和y的二阶混合偏导数是可交换uvx的,对柯西—黎曼方程求导数,即得222222,v,u,u,u,v,v,,,,,,,,2222,x,y,x,y,x,y,x,y因此,和都满足二维的拉普拉斯(Laplace),,,,2.,,,,0,22,x,,我们会知道,(z)u(x,y)v(x,y)们自然要问:给定调和函数或,我们能否找到一个解析u(x,y)v(x,y)函数,使得所给的或恰是的实部或虚部,答案f(z)u(x,y)v(x,y)f(z)(x,y)v(x,y)函数的一个简单组合,(z)米尔—汤姆松(Milne-Tomson),(z,z)y,(z,z),,22i1z,zz,zz,zz,z,f(z),u(,),iv(,)22i22i我们可将这等式看成是两个独立变量和的形式恒等式,置,zz,zz有=.f(z)u(z,0),iv(z,0)f'(z),u,iv,u,iuu根据柯西—黎曼方程,,因此,若将和分uxxxyyx别记为和,则我们有,,,,,x,y,x,y12.,,,,,,x,y,x,y,,(z,0),i,(z,0)f'(z),1212将上式积分之,我们有(1—36),f(z),{,(z,0),i,(z,0)}dz,c12,,(x,y),v,(x,y),v类似地,若是给定的,令,,我们能u(x,y)1y2x证明:,(1—37)f(z),{,(z,0),i,(z,0)}dz,c12,,设u(x,y),e(xcosy,ysiny),则,u,uxx,,,e(xcosx,ysiny,cosy),,,.,,,e,xsiny,siny,ycosy12,x,y因此z,,,(z,0),i,(z,0),ez,1,f'(z),12故zzf(z),e(z,1)dz,c,ze,c.,、定状态的热传导方程问题我们知道,,这个向量的长度和方向不随点的位置而变化,,,,这个向量场成为热流密度场,,我们这里只讨论二维热流问题,这就是说,这向量场中的向量都平行于某一个平面?,并且在垂直于?的任何一条直线上所有的点处,这个场中的向量(就大小与方向来说),在所有的平行于?的平面内,这个向量场的情形都完全相同,因此,这个向量场可以由位于平面?,是意味着一个柱面,?,,没有热量被这绝缘表面所吸收或散发,这平板侧面界面的某部分曲面余热原湘莲(它发出热能),,,垂直于平面,所以,平板内的向量,,、下街面的绝缘性保证只有沿轴QQxx3Q(x,y)和轴的分量,就是说,(x,y)QQyx成下述复热流密度形式:Q(x,y).(1—38)Q(x,y),iq,q(x,y),yxQ(x,y)其中,,二维Q(x,y)z,x,,x,iy由于通过任何曲线的热能量是单位时间内通过该曲线的热能的f流量,则通过微分弧长ds的微分热流量为df,(1—39)df,Qdsnds其中,是在的外法线方向上的分量;积分QQn(1—40)f,dsC表示向量场经过曲线的热流量,,则dz,Sds,dx,idy,,则n00Qds,Q(x,y