2021年10.1第一类(对弧长)的曲线积分.ppt

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问题的提出
对弧长的曲线积分的概念与性质
对弧长的曲线积分的几何与物理意义
对弧长的曲线积分的计算
小结 思考题 作业
arc length
第一类(对弧长)的
第10章 曲线积分与曲面积分
line integral
曲线积分
(对弧长)的曲线积分
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一、问题的提出
实例
匀质之质量
分割
求和
取极限
取近似
曲线形构件的质量
近似值
精确值
元素法
(对弧长)的曲线积分
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二、对弧长的曲线积分的概念与性质

设L为 xOy面内一条光滑曲线弧,
函数 f (x, y)在L上有界.
作乘积
并作和
如果当各小弧段的长度的最大值
在L上任意插入一点列
把L分成n个小段.
设第i个小段的
为第i个小段上任意取定的一
(1)
(2)
(3)
长度为Δsi ,
点,
(4)

(对弧长)的曲线积分
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曲线形构件的质量
即
这和的极限存在,
则称此极限为函数 f (x, y)
在曲线弧 L
对弧长的曲线积分
或
第一类曲线积分.
积分和式
被积函数
弧元素
积分弧段
记作
(对弧长)的曲线积分
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2. 存在条件
3. 推广
的曲线积分
连续,
的曲线积分为
当 f (x, y)在光滑曲线弧L上
函数 f (x, y, z) 在空间曲线弧Γ上对弧长
对弧长
(对弧长)的曲线积分
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4. 性质
性质1
性质2
(对路径具有可加性)
若L(或Γ)是分段光滑的,
(对弧长)的曲线积分
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性质3
设在L上
则
特别地, 有
性质4(中值定理)
连续,
若函数 f (x, y)在光滑曲线
弧L上
则在L上至少存在一点
使得
其中s为曲线L的弧长.
(对弧长)的曲线积分
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性质5(与积分路径的方向无关)
⌒
⌒
注意
闭曲线L上
对弧长的曲线积分
记作
函数 f (x, y)在
(对弧长)的曲线积分
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设函数f (x, y)在一条光滑(或分段光滑)的曲线
当f (x, y)是L上关于x 的奇函数,
当f (x, y)是L上关于x 的偶函数
L1是曲线L落在y 轴一侧的部分.
在分析问题和算题时常用的
L关于y轴 对称,
补充
对称性质.
L上连续,
则
(或y)
(或y)
(或x轴)
(或x)
运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,
应同时考虑被积函数 f (x, y)的奇偶性与积分曲线
L的对称性.
(对弧长)的曲线积分
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例
其中L是圆周
解
因积分曲线L关于
被积函数x是L上
被积函数
因积分曲线L关于
由对称性,
计算
得
是L上
y轴对称,
关于x的奇函数
x轴对称,
关于y的奇函数
(对弧长)的曲线积分
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