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完全平方数
九章出版社提供
(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方,那麼我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:
性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一:
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后,得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知:奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质3:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6,证明k为奇数。因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,於是可设m=10n+4或10n+6。则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1:如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那麼这个数一定不是完全平方数。
推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。
性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为(2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6:平方数的形式必为下列两种之一:3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1, 3m+2。平方后,分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到:
性质7:不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型。
性质8:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面关於个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的