全国初中数学竞赛试题汇编--几何解答题与答案.pdf

全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题
1、如图,圆 O 与圆 D 相交于 A B , 两点, BC 为圆 D 的切线,点 C 在圆 O 上,且 AB BC = .(1)证明:
点 O 在圆 D 的圆周上.(2)设△ ABC 的面积为 S ,求圆 D 的的半径 r 的最小值.
解:( 1)连, OA , OB, OC AC ,因为 O 为圆心, AB BC = ,
所以△ OBA ∽△ OBC ,从而= ∠∠ OBA OBC .
因为⊥ OD AB DB BC ⊥, = ∠° − OBC DBO= ∠,所以° −= ∠ OBA 90 ∠ DOB 90 ,
所以 DB DO = ,因此点 O 在圆 D 的圆周上.
(2)设圆 O 的半径为 a , BO 的延长线交 AC 于点 E ,易知 BE AC ⊥.
Cy设 y AC ) = 2 (0 ≤< a y , OE x = , AB l = 2 y ,则 x 2 a + 2 = x , ya + S ) = ( ,
2 aS
2 2 ) x = a a + ax ( 2 a = 2 2 x ax + 2 2 a = + y 2 + x 2 a + = y 2 + l + 2 = ) ( .
y
= ∠∠= 因为∠= ∠ OAB OBA BDO 2 ABC 2 , AB BC = , DB DO = ,
BD BO a r al
所以△ BDO ∽△ ABC ,所以= ,即= ,故 r = .
BA ACAB y l 2 2 y
SSaS S a S aS a 2 a l 2 2 2 2 S
3 ≥⋅= ⋅所以= r 2 = ) ( ,即 r ≥,
2 2 y y 4 y 2 4 y 2 2
2 S
其中等号当 y a = 时成立,这时 AC 是圆 O D 的的半径 r 的最小值为.
2
2、如图,给定锐角三角形 ABC, BC CA < ,AD,BE 是它的两条高,过点 C 作△ABC 的外接
圆的切线 l ,过点 D,E 分别作 l 的垂线,垂足分别为 F, DF 和 EG 的大小,
并证明你的结论.
解法 1:结论是 DF EG = .下面给出证明.
因为= ∠∠ FCD EAB ,所以 Rt△FCD ∽ Rt△
CD CE
DF BE ⋅= .同理可得 EG AD ⋅= .
BAB AB
DB AD BE
又因为= = tan ∠ ACB ,所以有⋅= BE CD AD⋅ CE ,
CD CE
于是可得 DF EG = .
解法 2:结论是 DF EG = .下面给出证明连接 DE,
° = 因为= ∠∠ ADB AEB 90 ,所以 A,B,D,E 四点共圆,
=故∠∠ CED ABC .
1
又 l 是⊙O 的过点 C 的切线,所以= ∠∠ ACG ABC .
所以, = ∠∠ CED ACG ,于是 DE∥FG,故 DF=EG.
3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的△ABC?证明你的结
论.
解:存在满足条件的三角形.
当△ABC 的三边长分别为 a = 6 , b = 4 , c = 5时, ∠A = 2∠B .……………… 5 分
如图,当∠A = 2∠B 时,延长 BA 至点 D,使 AD = AC = b .连接 CD,则△ ACD ∠BAC
为△ ACD 的一个外角,所以∠= ∠ D BAC 2 .由已知, ∠= ∠ B BAC 2 ,所以
∠B = ∠D .所以△ CBD 为等腰三角形.
又∠D 为△ ACD与△ CBD 的一个公共角,有△ ACD∽△ CBD ,于是
AD CD b a
= , 即= ,
CD BD a b + c
所以 a 2 = b(b + c).
45 5) (4 而 4 6 + 2 × = ,所以此三角形满足题设条件,
故存在满足条件的三角形. ……………… 15 分
说明:满足条件的三角形是唯一的.
若∠A = 2∠B ,可得 a 2 = b(b + c).有如下三种情形:
(i)当 a > c > b 时,设 a = n +1, c = n , b = n −1( n 为大于 1 的正整数),
代入 a 2 = b n (b + c − n ) 1 ,得 2 1 −( = n + 1 )2 ( )( ),解得 n = 5 ,有 a = 6 , b = 4 , c = 5;
(ⅱ)当 c > a > b 时,设 c = n