李尚志教授数学大观课件3.ppt

数学大观3
凌波微步
微积分
李尚志
北京航空航天大学
一元微积分
物理:以匀速代替非匀速
几何:以直代曲(只能看不能算)
代数:以线性代替非线性
例. 自由落体 x = t2 . 求t 秒末的速度.
解: x(t+Dt)=(t+Dt)2
= t2 +(Dt)+(Dt)2
线性化: x(t+Dt) ≈ t2 +(Dt)
(Dt)2 : Dt 的无穷小倍= o(Dt).
速度vt= 一次项系数 = 导数
几何:以直代曲
抛物线 x = (t + Dt)2 在点(t, )附近
被切线 x = + 近似代替
速度v1 =切线斜率
此几何意义与 x,t
的物理意义无关
可以推广到别的
函数 y = f(x)
Dt
Dx
t
x
微分与导数
函数 y = f(x) 在 x=a 附近线性化。
函数增量 Dy = f(x)-f(a),自变量增量Dx=x-a
Dy ≈ k Dx ,
误差:Dy–kDx = o(Dx)
微分: dy = kDx
导数: = k,记为 f ’(a)
=变化率=切线斜率.
一次函数代替 f(x):
y=f(x) ≈f(a) + f ’(a) Dx
x
Dx
Dy
y
假作真时貌似真
极限: f(x) A 即: f(x)=A+q,q无穷小(0).
若 f(x)A, g(x)B
f(x)g(x)= (A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2 AB
无穷小的代数性质(同济. 用 e-d语言证明.)
可以将 q1, q2看成 0,略去不写
写 f(x) ≡A, g(x) ≡B, 像等式一样加、减、乘
得到 f(x) ±g(x) ≡ A ± B, f(x)g(x) ≡ AB
即f(x) ±g(x)  A ± B, f(x)g(x) AB .
被忽略的元素集合={无穷小}= O(Dx)
微分:Dy≡dy (mod o(Dx))
f(x) ≡f(a)+f ’(a)Dx(mod o(Dx))
多项式的导数
.
多项式 f(x)=anxn +…+a1x+a0 的导数:
差分D f(x) = f(x+ t ) – f(x)=(nanxn-1+…+a1)t
+(…)t2 是 t 的多项式, 其中t 的一次项系数即 f ’(x) =nanxn-1+…+a1
和差积商的导数公式
f(x) ≡ f(a) + f’(a) Dx
g(x) ≡ g(a) +g’(a) Dx
两式相加减和差的导数
相乘乘积的导数
f(x)g(x) ≡ f(a)g(a) +(f(a)g’(a)+g(a)f’(a)) Dx
倒数的导数:
微积分基本概念(二) ---- 定积分
速度 v(t) 路程 s(t)
路程= 速度* 时间
速度变化怎么办?
分段计算: Dsi = v(ti)* Dti
各段相加:s = Si Dsi, Dti 0
微积分基本概念(三) ---- 微积分基本定理
飞檐走壁之电影实现
s(t) = kt2  v(t) = 2kt
v(t) = 2kt  s(t) = ?
a = a  v = v0 + at
 s = v0t + ½ at2
球面镜的反射
2018/5/18