华科有限元课件-1 三角形单元有限元.pdf

结构数值分析与
程序设计
主讲:熊世树
•工程结构隔震减振;结构试验监测;结构仿真分析
• Tel: 87544331-8203;**********
• E-mail: lab4331@, QQ:82684842
•结构试验中心203
主要内容
第1章三角形单元的有限元法
第2章有限元程序设计与分析软件
第3章平面问题高阶单元的有限元法初步
第5章杆系结构的有限元法
第1章三角形单元的有限元法
有限元法基本思想
起源:“有限元”术语最早(1960)由美国加州伯克利大学
土木系教授克拉夫(Clough)提出,将结构力学杆件
位移法推广到求连续体介质力学问题(当时解决飞机
结构应力分析)。
思想:用有限个离散单元的集合体代替原连续体,采用能量
原理研究单元及其离散集合体的平衡,以计算机和矩
阵运算为工具进行结构受力分析,获得结构变形和应
力。
有限元法的优点
避免弹性力学获得连续解的困难(建立和求解偏微分方
程),使大型、复杂结构计算分析容易在计算机上完成。
(1) 概念浅显,容易掌握。结构力学矩阵位移法知识,离
散、插值、能量原理、矩阵运算)
(2)适用性强,应用范围广,几乎适用于所有连续体和场问
题的分析。(结构、热传导、流体、电磁场和声学等)
(3)采用矩阵型式表达,便于计算机编程。
有限元法的分析步骤
(1)结构离散化:用点、线或面把结构剖分为有限个离散
单元体,并在单元指定点设置节点。研究单元的平衡和变形
协调,形成单元平衡方程。
P 单元的
①②节点上
1 2 3 有位移
l/2 l/2
和力F
①②
1 2 2 3
、F 、F
2 2 l/2 4、F4 2 2 l/2 4、F4
1、F1 3、F3 1、F1 3、F3
(2)单元集合:把所有离散的有限个单元集合
起来代替原结构,形成离散结构节点平衡方程。
P
①②
1 2 3
l/2 l/2
①②
1 2 2 3
、F 、F
2 2 l/2 4、F4 2 2 l/2 4、F4
1、F1 3、F3 1、F1 3、F3
(3)由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。
有限元法分析思路流程图
离散(剖分)结构
为若干单元
单元分析
(建立单元刚度矩阵[k]e
形成单元等价节点力)
系统分析
(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K]
形成等价节点荷载{P} )
解综合方程[K]{⊿}= {P}
求结构节点位移{⊿}
计算结构内力和应力
基本力学量矩阵表示
1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs
qsx  T
{qs} [qsx qsy ] (1-1)
qsy 
qs
·
y j y j
qV
i · i
m m
x x
2、单元内任意点的体积力列阵qV
qVx  T
{qV } [qVx qVy ] (1-2)
qVy 
3、单元内任意点的位移列阵f
{ f } [u ]T (1-3)
y m y m
v
u 
· j · j
i i
x x
图1-1
4、单元内任意点的应变列阵
T ( )
{} [ x  y  xy ] 1-4
5、单元内任意点的应力列阵
T
{} [ x  y  xy ] (1-5)
y m

· j
i
6、几何方程 x
u v u v
, , 
x x y y xy y x
T
将上式代入式(1-4), {} [ x  y  xy ] (1-4)
T
u u 
{} (1-6)
x y y x 