刚体力学习题答案.docx

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3-1如图3-1示,一轻杆长度为2l,两端各固定一小球,A球质量为2m,B球质量为m,杆可绕过中心的水平轴O在铅垂面内自由转动,求杆与竖直方向成
角时的角加速度.
图3-1
解:系统受外力有三个,即A,B遇到的重力和轴的支撑作用力,轴的作用力对轴的力
臂为零,故力矩为零,,则A
球受力矩为正,B球受力矩为负,两个重力的力臂相等为dlsin,故合力矩为
M2mglsinmglsinmglsin
系统的转动惯量为两个小球(可视为质点)的转动惯量之和
J2ml2ml23ml2
应用转动定律
MJ
有:mglsin
3ml2
解得
gsin
3l
3-2计算题3-
,其质量为
M,
半径为r
在绳与轮边沿的摩擦力作用下旋转
忽视桌面与
,
,
物体间的摩擦
,设m1=50kg,m2=200kg,M=15kg,r=.
图3-2
解:分别以m1,m2滑轮为研究对象,受力争如图(b),m2运用牛顿定律,有
m2gT2m2a①
T1m1a②
对滑轮运用转动定律,有
T2rT1r(1Mr2)③
2
又,ar④
联立以上4个方程,得
m2g

ms
2
a

M
15
m1m2
5200
2
2
3-3飞轮质量为60kg,,当转速为1000r/min时,要在5s内令其制动,求制动力
F,设闸瓦与飞轮间摩擦系数=,飞轮的转动惯量可按匀质
圆盘计算,闸杆尺寸以下列图.
图3-3
解:以飞轮为研究对象,飞轮的转动惯量
J
1mR2,制动前角速度
1000
2
为2
-制动时闸瓦对飞轮的压力为
FN,闸
60
rad/s,制动时角加速度为
t
瓦与飞轮间的摩擦力
Ff
FN,运用转动定律,得
FfR
J
1
mR2
2
则FN
mR
2t
以闸杆为研究对象,在制动力
F和飞轮对闸瓦的压力
FN的力矩作用下闸杆保持均衡,两
力矩的作用力臂分别为
l
()
m和l1=0-50m,则有
Fl
FNl1
0
F
l1FN
l1mR
t

60

2
1000
157N
l
l2


5
60
3-4设有一均匀圆盘,质量为m,半径为R,可绕过盘中心的圆滑竖直轴在水平桌面上转动.
圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为,若用外力推进它使其角速度达到0时,撤去外力,
求:
此后圆盘还可以连续转动多少时间
上述过程中摩擦力矩所做的功.
解:(1)撤去外力后,盘在摩擦力矩
Mf作用下停止转动-设盘质量密度为
m
2,则
R
有
Mf
R
g2
r2dr
2mgR
0
3
依据转动定律
Mf
,J
1
2
4g
J
mR
3R
2
t
0
3R
0
g
2)依据动能定理有
摩擦力的功Wf
01J
2

0
21mR2
0
2
4
3-5如题3-6图所示,一匀质细杆质量为m,长为l,可绕过一端O的水平轴自由转动,杆于
:
(1)初始时刻的角加速度;
(2)杆转过角时的角速度.
图3-6
解:(1)由转动定律,有
mg
1
(
1
ml2)
2
3
3g
∴
2l
(2)由机械能守恒定律,有
mgl
sin
1
(
1
ml2)2
2
2
3
3gsin
∴
l
3-
体的半径分别为R和r,
连,m1和m2则挂在圆柱体的双侧,如3-=,r=,m=4kg,M=10
kg,m1=m2=2kg,且开始时m1,m2离地均为h=:
(1)柱体转动时的角加速度;
(2)双侧细绳的张力.
解:设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速
度,方向如图(如图b).
(a)图
(b)图
(1)m1,m2和柱体的运动方程以下:
T2
m2g
m2a2
①
m1g
T1
m1a1
②
T1R
T2rI
③
式中T1T1,T2T2,a2
r,a1
R
而
I
1MR2
1mr2
2
2
由上式求得
Rm1
rm2
I
m1R2
m2r2g

2

2

1

1



10
4
2
2
2
2

(2)由①式
T2
m2r
m2g
2


2


由②式
T1
m1g
m1R
2

.


3-7
一风扇转速为900r/min,当马达关闭后,风扇均匀减速,止动前它转过了
75转,在此过程
中制动力做的功为,求风扇的转动惯量和摩擦力矩.
解:设制动摩擦力矩为
M,风扇转动惯量为
J,止动前风扇的角位移
2N,摩擦
力矩所做的功为
A
M
M2N
摩擦力所做的功应等于风扇转动动能的增量,即
A0
1J
2
2
2A
2
(
)
2
J
2
(900
2
/60)2

M
A


2
N
2
75
3-8
一质量为M、半径为r的圆柱体,在倾斜
角的粗糙斜面上从距地面
h高处只滚不滑
而下,试求圆柱体滚止地面时的瞬时角速度
.
解:在转动过程中,圆柱体受重力
Mg和斜面的摩
擦力F作用,设
圆柱体滚止地面时,质心在瞬时速
率为v,则此时质心的平动动能为
1
Mv2,与此同时,圆柱体以角速度
绕几何中心轴转
1
2
动,其转动动能为
J
,初始时刻圆柱体的势能为
Mgh,因为
2
圆柱体只滚不滑而下,摩擦力为静摩擦力,对物体不做功,只有重力做功,机械能守恒,
于是有Mgh
1Mv2
1J2
1
2
2
式中J
Mr2,v
r,代入上式得
2
Mgh
1
(Mr21
Mr2)
2
2
2
即
2
gh
r
3
3-9一个轻质弹簧的倔强系数
k
,它的一端固定,另一端经过一条细绳绕过一个
定滑轮和一个质量为
m=80g
的物体相连,,它的质量
M=100g,半径r=,使弹簧处于其自然长度,=
擦,并以为绳在滑轮边沿上不打滑.
图3-11
解:因为只有守旧力(弹性力、重力)做功,因此由弹簧、滑轮和物体
m构成的系统机
械能守恒,故有
mgh
1kh2
1I
21mv2
2
2
2
v
r,I
1Mr2
2
因此
2mgh
kh2
v
1M

m
2
3-10有一质量为m1、长为l的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它

的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设
,如图示,
求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间(已知棒绕O
点的转动惯量J
1
ml1
2).
图3-12
3
解:对棒和滑块构成的系统,因为碰撞时间极短,因此棒和滑块所受的摩擦力矩远小于互相间的冲量矩,故可以为合外力矩为零,因此系统的角动量守恒,且碰撞阶段棒的角位移
忽视不计,由角动量守恒得
m2v1l
m2v2l
1ml12
3
碰撞后在在转动过程中棒遇到的摩擦力矩为
M
t
gm1dx
1
mgl
f
0
l
2
1
由角动量定理得转动过程中
t
1
m1l2
Mfdt
0
0
3
联立以上三式解得:
t
2m2V1
V2
m1g
3-11

r1=×1010m时的速率
是v1=×104m·s-1,它离太阳最远时的速率是
v2=×102m·s-1,这时它离太阳的距离r2为
多少(太阳位于椭圆的一个焦点.)
解:
哈雷彗星绕太阳运动时遇到太阳的引力——即存心力的作用,因此角动量守恒;
又因为
哈雷彗星在近期点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有
r1mv1
r2mv2
∴
r2
r1v1

1010

104

1012m
v2

102
3-12
平板中央开一小孔
,质量为m的小球用细线系住
,细线穿过小孔后挂一质量为
M1的重

,
的物体,如3-
和半径r为多少
图3-14
解:在只挂重物时M1,小球作圆周运动的向心力为M1g,即
M1gmr00

2
①
挂上M2后,则有
(M1M2)gmr
2
②
重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒.
即r0mv0rmv
r020r2③
联立①、②、③得
M1g
0
mr0
M1g(M
2
1M2)3
mr0
M1
M1
M2
g
M1
r0
r
2
3
m
M1M2
3-13如图示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕水平圆滑轴
在竖直平面内转动,转轴O距两端的距离分别为l/3或2l/
有一质量为m的小球,以水平速度v0与杆下端的小球m做对心碰
,碰后以v0/2的速度返回,试求碰撞后轻杆所获取的角速度
.
图3-13
解:将杆与两端的小球视为一刚体,水平飞来的小球
m与刚体视为一系统,在碰撞过程中,
外力包含轴O处的作用力和重力,
均不产生力矩,故合外力矩为零,系统角动量守恒-选逆
时针转动为正方向,则由角动量守恒得
mv0
2l
v0
2l
3
m
J
2
3
Jm(2l)2
2m(l)2
3
3
解得
3v0
2l
3-14圆盘形飞轮A质量为m,半径为r,最先以角速度0转动,与A共轴的圆盘形飞轮B
质量为4m,半径为2r,最先静止,以下列图,两飞轮啮合后,以同一速度转动,求及啮合过程中机械能的损失.
图3-14
解:以两飞轮构成的系统为研究对象,因为运动过程中系统无外力矩作用,角动量守恒,有
1mr2
0
1mr2
14m(2r)2
2
2
2
1
得0
17
初始机械能为W1
11mr2
0
2
1mr2
0
2
22
4
啮合后机械能为W2
11mr2
2
114m(2r)2
22
22
则机械能损失为
WW1
W2
161
mr2
0
2
174

11mr202
174
16
W
17
3-15如图示,一匀质圆盘半径为r,质量为m1,,一质量
为m2的子弹一速度v沿与盘半径成160的方向击中盘边沿后以速度v/2沿与半径方
向成230的方向反弹,求盘获取的角速度.
图3-15
解:对于盘和子弹构成的系统,撞击过程中轴O的支撑力的力臂为零,不供给力矩,其余
外力矩的冲量矩可忽视不计,故系统对轴O的角动量守恒,即
L1L2,初时盘的角动量为零,只有子弹有角动量,故
L1m2vrsin60
末态中盘和子弹都有角动量,设盘的角速度为,则
L2
m2
vrsin30
1m1r2
2
2
v
1
2
故有
m2vrsin60m22rsin30
2m1r
可解得:
(231)m2v
2m1r
3-16
一人站在一匀质圆板状水平转台的边沿
,转台的轴承处的摩擦可忽视不计
,人的质量
为m',转台的质量为
10m',,这人把一质量为
m的石子
水平川沿转台的边沿的切线方向投出
,石子的速率为v(相对于地面).求石子投出后转
台的角速度与人的线速度.
解:以人、转台和石子构成的系统为研究对象,因为系统无外力矩作用,角动量守恒,
设转台角速度的转向与投出的石子速度v方向一致,初始时系统角动量为零,得
JmRv0
人和转台的转动惯量J110m'R2m'R2,代入上式后得
2
mv
6m'R
人的线速度为vR

mv
6m'
此中负号表示转台角速度转向和人的线速度方向与假设方向相反-
3-17一人站在转台上,两臂平举,两手各握一个m
4kg,哑铃距转台轴
r0
,开初转
台以
0
2
rad/s
的角速度转动
而后这人放下两臂
使哑铃与轴相距
r
,
设人与转
,
,
台的转动惯量不变
,且J5kg
m2,转台与轴间摩擦忽视不计,求转台角速度变成多大整
个系统的动能改变了多少
解:以人、转台和哑铃构成的系统为研究对象,因为系统无外力矩作用,角动量守恒,有
(J
2mr0
2)0
(J2mr2)
J2mr02

2

J2mr2
0
24

5
动能的增量为
W
W
W
1(J
2mr2)
2
1(J
2mr
2)
0
2
0
2
2
0
1
1
(5
24
)
122
(52
)
(2)2
2
2
183J