复习4三角函数复习.docx

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1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x轴的非负半
轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示: 终边与 终边相同

2k (k Z)
注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等
.
如与角
1825的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。
4、
与
的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.
2
如若
是第二象限角,则
是第_____象限角
2
rad180o
5.
弧度制:1弧度(1rad)

1
1
弧长公式:l||R
扇形面积公式:
2
2lR
2|
|R
S
如已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是
1弧度,求该扇形的面积。
6、任意角的三角函数的定义 :设 是任意一个角, P(x,y)是 的终边上的任意一点(异于
原点),它与原点的距离是r
x2
y2
0,那么sin
y,cos
y,x
r
tan
0
。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点
P的位置无关。
x
P(5m,-12m)(m<0),则sincos
如(1)已知角
的终边经过点
的值为
|sin
|cos
tan
(2)若y
|cos
,则此函数的值域为
sin
|tan

是:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在
(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)
处(起点是A)”.
y

x
,
r
。
轴上
三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式 。
如(1)若 0,则sin ,cos ,tan 的大小关系为
8

T
S
P
α
_____
OMAx
(2)若
为锐角,则
,sin,tan的大小关系为
____
___
;
特殊角的三角函数值:
30°45°60°0°90°180°270°
15°
75°
sin
cos
tan
9.
同角三角函数的基本关系式
:
(1)平方关系:
(2)商数关系:
同角三角函数的基本关系式的
主要应用是:
已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据
已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号。
如(1)若0
2x
2
,则使
1
sin22x
cos2x成立的x的取值范围是
(2)设
是第四象限角,sin
2m
1
1
3m
4
,cos
4
,则m的值是_______;
m
m
(3)已知sin
m
3
,cos
4
2m(
),则tan
=___
_
m
5
m
5
2
(4)已知
tan
1
1
,则sin
3cos
=
__
;
tan
sin
cos
sin2
sin
cos
2=_________
(5)已知sin200
a,则tan160等于
(
)
A、
a
B、
a
C、
1
a2
D、
1
a2
1
a2
1a2
a
a
(6)已知f(cosx)
cos3x,则f(sin30
)的值为______
k
)的本质是:奇变偶不变(对
k而言,指k取奇数或
(
2
看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的
偶数),符号看象限(看原函数,同时可把
三角函数值,其一般步骤:
(1)负角变正角,再写成
2k
+,
0
2
;(2)转化为锐
角三角函数。
如(1)cos9
tan(7)
sin21
的值为________;
4
6
4,则cos(
(2)已知sin(540
)
270)
______
5
360)]2
(3)若
为第二象限角,则
[sin(180
)
cos(
________。
tan(180
)
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
:
sin
sin
cos
cos
sin
cos
cos
cos
m
sin
sin

令
令

sin2 2sin cos
cos2 cos2 sin2
2cos2 1 1 2sin2
tan
tan
tan
cos2
=1+cos2
1mtan
tan
2
sin2
=1
cos2
2
tan2
2tan
1tan
2
如(1)下列各式中,值为
1的是(
)
2
A、sin15
o
cos15
o
B、cos2
sin2

oD、
o
C、
2
1cos30
12
12

2
(
)命题
:
tan(AB)
0,命题:
tanAtanB
0
,则
P
是
Q
的
(
)
条件
2
P
Q
A、充要
B
、充分不必要
C、必要不充分
D、既不充分也不必要
(3)已知sin(
)cos
cos(
)sin
3
的值为___
_
,那么cos2
5
1
3
(4)sin10o
sin80o的值是_____
_
;
(5)已知tan1100
a,求tan500的值(用a表示)甲求得的结果是
a
3,乙求得的结
1
3a
果是1a2
,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是
___
___
12.
2a
三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路
是:一角二名三形四幂。即首先
观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,
角的变换是三角函数变换的核心!
第二
看函数名称之间的关系,通常“切化弦”
;第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:
(1)巧变角(凑角)(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的
变换、两角与其和差角的变换
.如
(
)
(
)
,
2
(
)
(
),2
(
)
(
),
2
2
等,具体看题意)
2
1
如(1)已知tan(
)
)的值是_____
;
),tan(
4
,那么tan(
5
4
4
(2)已知0
2
,且cos(
)
1,sin(
)
2,
2
9
2
3
则cos(
)=
(3)已知
,
为锐角,sin
x,cos
y,cos(
)
3
,则y与x的函数关系为
__
__
5
三角函数名互化(化切为弦,化弦为切)
如(1)求值sin50o(1 3tan10o)
(2)已知sin
cos
1,tan(
)
2,求tan(
2)的值
1
cos2
3
(3)
公式变形使用(tan
tan
tan
1mtantan
。
如(1)已知A、B为锐角,且满足tanAtanB
tanA
tanB1
,则cos(A
B)=___
__;
(2)
设ABC中,tanA
tanB
33tanAtanB,sinAcosA
3
,则此三角
形是_
___
4
三角形
(4)
三角函数次数的降升
(降幂公式:cos2
1cos2
,sin2
1
cos2
与升幂
2cos2
2sin2
2
2
公式:1cos2
,1cos2
)。
如(1)若
(,3
),化简
1
1
1
1cos2
为_____
;
2
2
2
2
2
(2)函数f(x)
5sinxcosx
5
3cos2x
5
3(xR)的单调递增区间为
______
_____
2
式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
1sin
1
tan
如(1)求证:
2;
1
2sin2
1
tan
2
2
(2)求值:sin210o cos240o sin10ocos40o
(6)常值变换主要指“1”的变换(1
sin2
xcos2x等),
如已知tan
2,求sin2
sin
cos
3cos2
.
正余弦“三兄妹—sinxcosx、sinxcosx”的内存联系:“知一求二”
如(1)若sinx
cosx
t,则sinxcosx__
,
特别提醒:这里t[
2,
2];
(2)若
(0,
),sin
cos
1
,则sinxcosx
2
(3)sinxcosx
1,且
x
,则cosx
sinx
8
4
2
(4)角A为ABC的一个内角,若
sinAcosA
2
ABC的形状为(
)
,则
5
B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
13、助角公式中助角的确定
:asinx
bcosx
a2
b2sin
x
(其中角所
在的象限由a,
b的符号确定,
角的由tan
b
确定)在求最、化起着重要作用。
a
如(1)当函数y
2cosx
3sinx的最大
,最小
(2)若方程sinx
3cosx
c有数解,c的取范是___________;
(3)如果f(x)
sin(x
)
3cos(x
)是奇函数,tan
=
;
(4)求:sin40o(tan10o
3)=______
14、正弦函数和余弦函数的象
:正弦函数y
sinx和余弦函数y
cosx象的作
方法:五点法:先取横坐分
0,,
,3
,2
的五点,再用光滑的曲把五点接
2
2
起来,就得到正弦曲和余弦曲在一个周期内的象。
15、正弦函数
y
sinx(x
R)、余弦函数y
cosx(x
R)的性:
(1)定域:都是R。
(2)域:都是
1,1
,y
sinx,当x
2k
k
Z,y取最大1;当
3
2
k
Z
,y取最小-
1;y
cosx,当x
2k
k
Z,y取最
x2k
2
大1,当x
2k
k
Z
,y取最小-1。
如()若函数
y
a
b
sin(3
x
)
的最大
3,最小
1
__,b
1
6
2
,a
2
(2)函数f(x)
sinx3cosx(x
[
,
])的域是
____
2
2
(3)函数f(x)
2cosxsin(x
)
3sin2x
sinxcosx的最小是_____,
此x=_____
_____
3
特提醒:在解含有正余弦函数的,你深入挖掘正余弦函数的有界性了?
(3)周期性:①y
sinx、ycosx的最小正周期都是2;②f(x)
Asin(
x
)和
f(x)
Acos(
x
)的最小正周期都是
2
T
。
|
|
如(1)若f(x)
sinx,f(1)
f(2)
f(3)
⋯⋯+f(2009)=__
_
3
(2)
函数f(x)
cos4x
2sinxcosxsin4x的最小正周期_
___
(3)
函数f(x)
2sin(
x
),若任意x
R都有f(x1)
f(x)
f(x2)成立,
|x1
x2|的最小____
2
5
(4)奇偶性与称性
:正弦函数y
sinx(x
R)是奇函数,称中心是
k
,0
k
Z,
称是直
x
k
k
Z
;余弦函数
y
cosx(xR)是偶函数,称中心是
2
k
,0k
Z
,对称轴是直线xk
k
Z(正(余)弦型函数的对称轴为过最高
2
x轴的直线,对称中心为图象与
x轴的交点)。
点或最低点且垂直于
如(1)函数y
sin
5
2x
的奇偶性是____
__
2
(2)已知函数
f(x)
ax
bsin3x1(a,b为常数),且f(5)7,则f(
5)______
(3)函数y
2cosx(sinx
cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是
__________、
____________
(4)已知f(x)
sin(x
)
3cos(x
)为偶函数,求
的值。
(5)单调性:y
sinx在2k
2
,2k
kZ
上单调递增,在
2
2k
,2k
3
k
Z
单调递减;y
cosx在2k,2k
k
Z
上单调递减,
2
2
在2k
,2k
2
k
Z
上单调递增。特别提醒,别忘了k
Z!
16、形如y
Asin(
x
)的函数:
(1)几个物理量:A―振幅;
1
―频率(周期的倒数);
x
―相位;
―初
f
T
相;
(2)函数y
Asin(
x
)表达式的确定:
A由最值确定;
由周期确定;
由图象上的特殊点确定,
如f(x)
Asin(
x
)(A
0,
0,|
|
)的图象如
f(x)=____
_
2
图所示,则
;
(3)函数y
Asin(
x
)图象的画法:①“五点法”――设
X
x
,令X=
0,
,
,3,2
求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:
2
2
这是作函数简图常用方法。
(4)函数y
Asin(
x
)
k的图象与y
sinx图象间的关系:
①函数y
sinx
的图象纵坐标不变,横坐标向左(
>0)或向右(
<0)平移|
|个单位
得y
sin
x
的图象;
②函数y
sin
x
图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的
1
,得到函数
y
sin
x
的图象;
③函数y
sin
x
图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数
y
Asin(
x
)的图象;④函数
y
Asin(x
)图象的横坐标不变,纵坐标向上
(k
0)或向下(k
0),得到yAsin
x
k的图象。
要特别注意,若由y
sin
x
得到y
sin
x
的图象,则向左或向右平移应平移
| |个单位.
如(1)函数y 2sin(2x ) 1的图象经过怎样的变换才能得到 y sinx的图象?
4
(2)
要得到函数ycos(x
)的图象,只需把函数
ysinx
2
4
2
__
__个单位

的图象向__ _ 平移
(5)研究函数
yAsin(
x)性质的方法:类比于研究
y
sinx
的性质,只需将
yAsin(
x
)中的
x
看成y
sinx中的x,但在求y
Asin(
x
)的单调区
间时,要特别注意
A和
的符号,通过诱导公式先将
化正。
如(1)函数y
sin(
2x
)的递减区间是__
____
(2)ylog1cos(x
3
)的递减区间是____
___
2
3
4
(3)设函数f(x)Asin(
x
)(A
0,
0,
2
2
)的图象关于直线
x
2对称,它
的周期是
,则(
)
3
A、f(x)的图象过点(0,
1)
B、f(x)在区间[
5
,
2
]上是减函数
2
是(5,0)
12
3
C、f(x)的图象的一个对称中心
D、f(x)的最大值是A
12
(4)对于函数f
x
2sin
2x
3
给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象
关于直线x
成轴对称;③图象可由函数
y
2sin2x的图像向左平移
个单位得到;④
12
3
图像向左平移
个单位,即得到函数
y
2cos2x的图像。其中正确结论是
_______
12
(5)已知函数f(x)2sin(
x
)图象与直线y
1的交点中,距离最近两点间的距离为
,那么此函数的周期是
_______
3
y
tanx的图象和性质:
17、正切函数
(1)定义域:{x|x
k
,k
Z}。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数
2
的定义域了吗?
(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;
(3)周期性:是周期函数且周期是
,它与直线y
a的两个相邻交点之间的距离是
一个周期
。
绝对值或平方对三角函数周期性的影响
:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,
其周期性是:弦减半、,其周期性
不变,其它不定。
如y
sin2x,y
sinx的周期都是
,
但y
|tanx|的周期不变;
(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是
k
,0
k
Z,特别提醒:正(余)切型
2
函数的对称中心有两类:
一类是图象与
x轴的交点,另一类是渐近线与
x轴的交点,但无对
称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。
(5)单调性:正切函数在开区间
2
k,
k
kZ内都是增函数。但
要注
2
意在整个定义域上不具有单调性。
18、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,
其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数
值)。如
(1)若,
(0,),且tan
、tan
是方程x2
5x
60的两根,求
的值。
(2)已知sin 5,sin 10,且,均为钝角,求 的值。
5 10