弱肉强食模型.docx

1)问题的提出
在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍 存在。两个弱肉强食的种群，其发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？ 2)模型假设
以X1(t)、x2(t)
1)问题的提出
在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍 存在。两个弱肉强食的种群，其发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？ 2)模型假设
以X1(t)、x2(t)表示处于弱肉强食关系中甲、乙二种群在时刻t的数量，
1、甲种群只以乙种群为食物资源，为，”为两个折算因子，分别表示一个单位数 量的甲物种维持其正常生存需占用的资源量、一个单位数量的乙物种为甲种 群提供的资源量；甲种群数量的增长率 x1(t)与该种群数量x1(t)成正比，同 时也与有闲资源s1(t)成正比。r1表示甲种群的固有增长率；
2、乙种群可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限， 设总量为“1” a2表示一个单位数量的乙物种维持其正常生存需占用的资源量，N2 1/a2
表示乙种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量。乙种群数量 的增长率X2(t)可以分解为两部分考虑：其一，不考虑甲种群的影响，乙种群 自由发展，其增长率与该种群数量 乂2(。成正比，同时也与有闲资源S2(t)成 正比，r2表示甲种群的固有增长率；其二，由于被甲种群捕食造成乙种群增 长的负面影响，称这一部分为被捕杀率，它与甲乙两个种群的数量均正相关， 这里简单地设为服从正比例关系，比例系数取为r2 b20
3)模型建立
X1
X2
S1
S2
X1
X2
根据模型假设，可得如下数学模型:
r1 X1 S1
X2 S2r2 b2 X1X2
a1 X1b1 X2
1 a2 x2
经化简，得:
X1 ( a1X1 b1 x2)
x2 (1b2 x1a2 x2)
4)模型求解
与前面两节一样，令模型方程的右端项:
ri Xi
「2 X2
(
(1
ai Xi
b2 Xi
bi X2)
a2 X2)
解之，得该模型的三个平衡点:
Pi(0,0)、P2(0,N2
1历2）、
P3
bi
a〔a2
ai
bi b2 ' ai a2"b?
o
类似于在种群竞争模型中的讨论，我们可以得到平衡点Pi（i
1,2）均不稳定;
P3
下面我们讨论平衡点 方程
bi
aia2bib2
a1a2
ai
bib2
的稳定性,
为此，将微分
Xi
X2
ri Xi (
「2X2 (1
ai
b2
Xi
X1
bi X2)
a2 X2)
的右端项以其在P3的一阶Taylor展式取代,
构造线性动力系统:
Xi
X2
r〔a1bl
a1a2bib2
r2a1b2
Xi
a1a2
a©
bb
Xi