与中点有关的辅助线作法.doc

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与中点有关的辅助线作法
李述文
中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题得到迅速解决。
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜边上的
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与中点有关的辅助线作法
李述文
中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题得到迅速解决。
一、已知直角三角形斜边上的中点时，常作斜边上的中线
例1. 已知：如图1，△ABC中，BD和CE是高，M为BC的中点，P为DE的中点。
求证：PM⊥DE。
证明：联结EM、DM，则
故EM＝DM
又P为DE的中点，所以PM⊥DE。
二、已知三角形一边的中点，构造中位线
例2. 已知：如图2，△ABC中，AD是高，BE是中线，且∠EBC＝30°。
求证：AD＝BE
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证明：取CD的中点F，联结EF，则
又AD⊥BC，故△BEF为直角三角形
又∠EBC＝30°，所以
故AD＝BE
三、已知中线，常倍长中线
例3. 如图3，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，BE的延长线交AC于F，且AF＝EF。
求证：BE＝AC
证明：延长中线AD至A’，使A’D＝AD
联结A’B，易证△A’BD≌△ACD，故∠A’＝∠CAD，A’B＝AC
又因为AF＝EF，所以∠AEF＝∠CAD
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又∠AEF＝∠A’EB，所以∠A’＝∠A’EB，A’B＝BE
故有BE＝AC
四、已知中点且结论为比例式时，常过中点作平行线
例4. 过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交