专题勾股定理培优版综合.docx

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专题 勾股定理在动态几何中的应用
一 . 勾股定理与对称变换
（一）动点证明题
1. 如图，在△ ABC 中， AB=AC，
2 2
（ 1）若 P 为边 BC 上的中点，连结 AP，求证： BP× CP=AB- AP；
（ 2）若 P 是 BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；
A
B C
P
（ 3）若 P 是 BC 边延长线上一点，线段 AB、 AP、 BP、 CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论 .
A
B C P
（二）最值问题
2. 如图， E 为正方形 ABCD的边 AB 上一点， AE=3 ， BE=1，P 为 AC 上的动点，则 PB+PE 的最小值是
A D
M 为对角线 BD（不含 BE
P
3. 如图，四边形
ABCD 是正方形，△
ABE是等边三角形，
点）上任意一点，
B
C
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将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 °得到 BN，连接 EN、 AM、 CM. （ 1）求证：△ AMB≌△ ENB；
A D
（ 2）①当 M 点在何处时， AM＋ CM 的值最小；
N
E M
B C
C
②当 M 点在何处时， AM＋ BM＋ CM的值最小，并说明理由；
A D
N
E M
B C
C
（ 3）当 AM＋ BM＋ CM的最小值为 3 1 时，求正方形的边长 .
A D
N
E M
B C
C
4. 问题：如图①，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若∠ BAD= ∠ C=2∠ DAC=45°， DC=2．求 BD 的
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长．小明同学的解题思路是： 利用轴对称，把△ ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
（ 1）请你回答：图中 BD的长为 ；
（ 2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ ABC中， D 是 BC 边上的一点，若∠ BAD=
∠ C=2∠ DAC=30°， DC=2，求 BD 和 AB 的长．
A

A
B D C
B D C
图① 图②
二 . 勾股定理与旋转
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