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“数形结合”在初中数学中的运用
一、以数助形
“数(代数)”与“形(几何)”是中学数学的两个主要研究对象， 而这两个方面是紧密联系的. 体 现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.“数”与“形”好比数学的“左右腿”.全 面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”
“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充. 数数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百
般好，隔离分家万事非.”华罗庚的这四句诗很好地总结了 “数形结合、优势互补”的精要， “数形结
合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学****中有重要的地位.
要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点， ，从“以数助
形”角度来看，主要有以下两个结合点： (1)利用数轴、坐标系把几何问题代数化(在高中我们还将
学到用“向量”把几何问题代数化) ；(2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：
利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等.
(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离可以用公式
AB =5便—X2)2 +(v — y2) y = 2x + 10的距离.
解：设P(x, 2x+10)是直线y=2x+10上的任意一点，它到原点的距离是
OP = ,(x-0)2 (2x 10-0)2 = \5(x 4)2 20
当x = Y时，。嗑小=2j5.
所以原点到直线y =2x +10的距离为2 J5.
【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线(这是 平面几何的一大难点).在高中“解析几何”里，我们将专门学****利用坐标将几何问题代数化.
m2—n2、2mn和m2 + n 2( m n为正整数，且m>n).求AABC
的面积(用含m n的代数式表示).
【分析】已知三角形三边求面积一般称为 “三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海 伦公式” 一般计算比较繁，“海伦公式” ，这要看所给的三角形
：
(m2 + n2) 2—(m2—n 2) 2= (2m 2)(应2=) m2就是说，&ABC的三边满足勾股定理，即AABC
是一个直角三角形.
“海伦公式”：三角形三边长为 a、b、c, p为周长的一半，则三角形的面积 S为：
S=7p(P-a)(P-b)(P-c) -
解：由三边的关系：(m2—n2)2十(2mn)2 =(m2+n2)2 .
所以AABC是直角三角形.
一 . .. _ 1c C C C
所以 MBC 的面积=一(m -n )(2mn) =mn(m -n ).
2
【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”，熟练的代数运算 ，就像武侠小说中所说的“内
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功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的.
=bx+c与抛物线y=ax2相交，两交点的横坐标分别为 x1、X2,直线y = bx + c与
1 1 1
x轴的父点的横坐标为 x3 ,求证：一=—+ 一.
x3 xi x2
【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于 a、b、c的符号不确定，导致抛物
线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，，看成 有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦.
解：:直线y =bx+c与x轴的交点的横坐标为 x3,
bx3 +c = 0 .
c
• • x3 =——. b
1 b
=——
x3 c
2
・•・直线y=bx+c与抛物线y = ax两交点的横坐标分别为 x1、x2,
2
，x1、x2为关于x的一兀二次方程 ax - bx-c = 0的两个不等实根.
• • •为 x2 = b , /x2 _ _c.
a a
b
.1 1 x1 x2 a b
.. I- =
x1 x2 x1x2 c c
a
1 1 1
—=—十—
x3 x1 x2

1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形.
【分析】“形”的角度来思
考，恐