“数形结合”在初中数学中的运用.doc

一、以数助形
“数(代数)”与“形(几何)”是中学数学的两个主要研究对象,, 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.“数”与“形”好比数学的“左右腿”.全面理解数与形的关系,就要从“以数助形”和“以形助数”“数”与“形”各自的优势与局限性,相互补充.“数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事非.”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要,“数形结合”是一种非常重要的数学方法,也是一种重要的数学思想,在以后的数学学****中有重要的地位.
要在解题中有效地实现“数形结合”,最好能够明确“数”与“形”常见的结合点,,从“以数助形”角度来看,主要有以下两个结合点:(1)利用数轴、坐标系把几何问题代数化(在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化);(2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题,例如:利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等.
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解:设是直线上的任意一点,它到原点的距离是
当时,.
所以原点到直线的距离为.
【说明】建立坐标系,利用坐标及相关公式处理一些几何问题,有时可以避免添加辅助线(这是平面几何的一大难点).在高中“解析几何”里,我们将专门学****利用坐标将几何问题代数化.
、和(m、n为正整数,且).求的面积(用含m、n的代数式表示).
【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题,可用“海伦公式”计算,但运用“海伦公式”一般计算比较繁,“海伦公式”,:,也就是说,的三边满足勾股定理,即是一个直角三角形.
“海伦公式”:三角形三边长为a、b、c,p为周长的一半,则三角形的面积S为:
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解:由三边的关系:.
所以是直角三角形.
所以的面积.
【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”,,就像武侠小说中所说的“内功
”,没有一定的内功,单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的.
,两交点的横坐标分别为、,:.
【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题,只是由于a、b、c的符号不确定,导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定,考虑问题需要进行分类讨论,,看成有关方程的问题,进行相关的计算,就省去了分类的麻烦.
解:∵直线与x轴的交点的横坐标为,
∴.
∴.
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∵直线与抛物线两交点的横坐标分别为、,
∴、为关于x的一元二次方程的两个不等实根.
∴,.
∴.
∴.
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【分析】“形”的角度来思考,恐怕除了试验,,而是先从“数”的角度来算一下,,以此为一边作一个正方形(如图),我们就不难设计出各种剪裁方法了.
【说明】有人把这种方法叫做“面积法”,其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质.“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”,几乎所有的剪拼问题,都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”,“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”,所谓“面积法”,实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现.
二、以形助数
几何图形具有直观易懂的特点,所以在谈到“数形结合”时,更多的老师和学生更偏好于“以形助数”,利用几何图形解决代数问题,常常会产生“出奇制胜”的效果,:
(1)利用几何图形帮助记忆代数公式,例如:
正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式;
将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式;等等.
(2)利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义,通过构造几何图形,依靠直观帮助解决代数问题,:
绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离;
数的大小关系就是数轴上点的左右关系,可以用数轴上的线段表示实数的取值范围;
互为相反数在数轴上关于原点对称(更一般地:实数与在数轴上关于对称,换句话说,数轴上实数关于的对称点为)