《泛函分析讲义－习题解答 林源渠.pdf》.pdf

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1．1．1 证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间， 而
任一度量空间的完备子空间必是闭子集．
(1) 设 X 是完备度量空间, M
X 是闭的. 要证
M 是一个完备的子空间.
证  xm , xn  M,
xm  xn

0
m, n
xm , xn  X,
xm  xn

0
m, n
,
X 是完备度量空间,
x  X, 使得 xn
x.
xn  M, xn
x
x  M.
M
X 是闭的
xm , xn  M,
xm  xn

0,
m, n
x  M, 使得 xn
x
M 是一个完备的子空间.
(2) 设 X 是一度量空间, M 是 X 的一个完备子
空间.
要证 M 是闭子集. 即, 若 xn  M, xn
x.
要证 x  M.
证 因为收敛列是基本列, 所以
xn  M,
xm  xn

0,
m, n
, 又
M 是完备度量空间,

所以  x  M, 使得 xn
x .
xn
x
x  x
 M.

xn
x
(Newton法) f 是定义在 a, b 上的二次连续可微的实
1
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值函数， x 
a, b, 使得 f
x   0 , f
x  0. 求

证存在 x 的邻域 U
x  ，使得  x0  U
x  迭代序列
f
x n
xn1  xn 

n  0,1,2,
f
x n
lim xn  x
是收敛的，并且 n
证明
f
x
Tx  x 
,
f
x
2
f
x f
x f
x f x f

x
d
Tx  1  

 ,
dx
2
2
f
x f
x

f
x   0, f
x  0. f
x 在点 x 处
连续,
f x f

x
lim

  0,
2
x
x f
x
x 的邻域 U
x , 使得
f x f

x

1, f
x 0
 x  U
x .
2
f
x
f f
|Tx  Ty| 

 |x  y|
|x  y|
 x, y  U
x .
2
f
于是,