清华大学复分析春期中考试题目答案模板.doc

A卷
一、填空题（每空4分，共32分）
以下集合 BC 为单连通域。
A、；
B、；
C、；
D、。
幂级数收敛半径是 1 ，它和函数是：。
设，。那么在原点处是否可导 是 。（填“是”或“否”）
假如分式线性变换把映为，而且，。那么表示形式是：。
在C--i,i上取多值函数单值解析分支使得。那么。这里-i,i表示虚轴上从到直线段。
若是区域上含有连续二阶偏导数调和函数，那么是否含有各阶连续偏导数？ 是 。（填“是”或“否”）
多项式在单位圆盘有　100 个根。
二、计算题（共38分）
1. (９分)；　
解：零点为，全部在内。由留数定理：
积分

。
2. (9分)；
解：直接应用书本结论：
积分

。
3. (10分)；
解：直接应用留数定理时，在处留数难以计算，所以作以下考虑：
令，则

，
又因为积分和无关，所以该积分为0。
其次，应用留数定理知：

，
所以

。
4. (1０分)，这里，，。
解：因为 ，可对逐项计算积分。
，现在分情形以下：
假如，则

，
令可见上面积分趋于0，所以。
假如，则
。
总而言之，。
三、证实题（每小题10分，共30分）
1、令为上半平面，是一个给定实数。请做出从单连通区域到上半平面解析同胚。
解：第一步：
作分式线