极值点偏移---拐点偏移.docx

极值点偏移一拐点偏移
极值点偏移问题专题
拐点偏移
例1已知函数f X =21 nx X2 x，若正实数Xi , X2满足
f Xi +f X2 =4 ,
求证：Xi X2 _2。
证明：注意到 f（1）=2， f （N ）+f（X2 ）=2f ⑴
f Xi +f X2 =2f 1
2
f x = +2x 10
X
f x=—$ 2，f 1 =0，则（1,2 ）是f x图像的拐点， X
若拐点（1,2 ）也是f X的对称中心，则有X1 X2=2 , 证明X1 X2 一 2则说明拐点发生了偏移，作图如下
想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构
造"，类似地，不妨将此问题命名为"拐点偏
移”，仍可用“对称化构造”来处理.
不妨设0 ：： x心1 < X2，要证
x-i x2 _ 2
x2 _ 2 - 为 _1
=f X2 _ f 2 - %
=4 - f xi - f 2 ~xi
二 4 _ f Xi f 2 - Xi
F x]=f x f 2 —x , x 0,11,则
F x 二 f x - f 2 -x
2 2
2x 1 2 2 -x 1
x 2-x
-1 A。,
1
=4 1 -x J
W（2-x）
得F x在0,1上单增，有F x汗1 =2 1 =4，得证。
2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路
1、极值点偏移（f X。=0）
t J
话匸亦航
二次函数 f X1 = f X2 =为 X2 =2x。
2、拐点偏移f Xo =0
f 捲=f X2 = X2 2x0 _ X-|
X1 X2、2x°
f xi f x2V^2f Xq = X2 2xo - xi
f x1 f x2 =2f xq =石 x2 = 2Xq = % X2 2xo
极值点偏移问题专题（1 ） 对称化构造（常规套路）
例1 （ 2010天津）已知函数f x =xe".
（1 ）求函数f x的单调区间和极值；
（2 ）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线
X=1对称，证明：当x 1时，f x g x ；
（3 ）如果 X1 = X2，且 f X1 二 f X2，证明：
x-i x2 2 . 解:(l)/,(x)=e_I(l-x) r 得f (刃在(yd』)上/ ’枉(L+®)±\ r y(x)有极大值 /(1) = -，超小值；
e
(2 ) g国 的團像与f (x)的團像关于直线x “对称”则g [x)的跡式为$ = /(2-x)， 构 iim^F(x)=/(x)-g(x) = /(x)-/(2-x)
F(x) = rM + /(2-x)
= e-r(l-x) + er-2(x-l)
当el时 r —1>0 r 严_宀0 则r(x)>0 ,得F(JC)在(人+00)3®『fl) F(x)>F(l)=0 F »/(x)>^(x).
(3)由才(坷)=子(花)「结合门刘的单调性可设坯弋让码'将七代入(2 )中不等式得 /(Xj)>/(2-Xh) f 又/(^) = /(^) r 故八珂)Af(2—呂)f 又画 <1 , 2-x2 <1 r f (划在(ydJ)上单堵「故珂a 2—乞r為+冯>2 +
来源:微信公众号中学数学硏讨