高中竞赛数学讲义第35讲整数性质.doc

第 16 讲整数的性质
、差、积都是整数,:整除.
整除性理论是初等数论中最基础的部分,它是在带余除法的基础上建立起来的.
整数a除以整数 b (b≠0),可以将a表示为a=bq+r,这里q,r是整数,且0≤r<,r称为a除以b所得的余数.
当r=0时,a=bq,称a能被b整除,或称b整除a,记为b | a,b叫做a的因数,a叫做b的倍数;q取1,则a=b,a也是它本身的因数.
当r≠0时,称a不能被b整除,b不整除a,记作b├ a.
若 c | a,c | b,则称 c是a,b的公因数,a,b的最大公因数d记为(a,b).
若a | c,b | c,则称 c是a,b的公倍数,a,b的最小公倍数M记为[a,b].
一个正整数,;有两个正因数的正整数称为素数(质数),素数的正因数只有1和它本身;正因数个数超过两个的正整数称为合数,合数除了1和它本身外还有其他正因数.
任何一个大于1的整数均可分解为素数的乘积,若不考虑素数相乘的前后顺序,,其中有些素数可能重复出现,把分解式中相同的素数的积写成幂的形式,大于1的整数a可以表示为:
a=,其中i=l,2,…,s.
(不考虑乘积的先后顺序).
若a的标准分解式是a=,其中i=l,2,…,s,则d是a的正因数的充要条件是 d=,其中
0≤βi≤αi,i=l,2,…,s.
由此可知,a的正因数的个数为d(a)=(α1+1) (α2+1)…(αs+1) .
由a的标准分解式a= (i=l,2,…,s),若a是整数的k次方,则αi(i=l,2,…,s),则αi(i=l,2,…,s)是偶数.
推论:设a=bc,且(b,c)=1,若a是整数的k次方,则b,,则b,c也是整数的平方.
A类例题
,则这样的a的最大值是( )
A. 9 B. 3 C. 2 D. 1
分析观察最小的三个连续自然数的立方和36,a是它的约数,a不会超过36,不能排除任何选择支;观察第二个小的三个连续自然数的立方和,进一步缩小
a的范围,可以排除取偶数的可能。当前面几个都是某数的倍数时,可以猜想出a的最大值,但最好能证明所有“三个连续自然数的立方和”都是某数的倍数。
解记an=n3+(n+1)3+(n+2)3,则a1=13+23+33=36=4×9,
a2=23+33+43=99为奇数,则a | a1,a | a2, (a1,a2)=9,故a | 9,所以a=1,3,9。
又an=n3+(n+1)3+(n+2)3=3n3+9n2+15n+9=3n3+9n2+6n+9n+9=3n(n2+3n+2)+9(n+1)=3n(n+1)(n+2)+9(n+1),
∴9 | an,故amax=9,选A。[来源:学科网]
说明解法中,把3n3+9n2+15n+9分为3n(n2+3n+2)与9(n+1)两部分,分别说明其为9的倍数。在考虑整除的证明时,把整数n的多项式分成几组分别因式分解是常用的方法。
,则p2除以24的余数为1。
分析:即证明p2-1是24的倍数,也即证明p2-1既是3的倍数又是8的倍数。p-1、p+1之间只有一个质数p,而连续的两个自然数中必有2的倍数,连续的三个自然数中必有3的倍数。
证明1 ∵ p是大于3的质数,∴p不是偶数,不是3的倍数,
又∵ p2-1=(p-1)(p+1),连续的三个整数中必有3的倍数,
∴ p-1、p+1中必有3的倍数,且p-1、p+1是连续的两个偶数,(p-1)(p+1)是8的倍数。
∴ p2-1=(p-1)(p+1)是24的倍数,即p2除以24的余数为1。
证明2 设p=6n±1 (6n,6n±2,6n+3均为合数),
则(6n±1)2=36n2±12n+1=12n(3n±1)+1,
∵ n和3n±1必为一奇一偶,∴n(3n±1)为偶数。
∴ 12n(3n±1)必为24的倍数,∴(6n±1)2=24k+1[来源:]
即 p2除以24的余数为1。
说明大于3的质数,必定是奇数,又不是3的倍数,所以一定是形如6n±1的数。6是24的约数,用这样的形式表出后再变形,容易推出结论。
。
分析即证明(21p+4,14p+3)=1。若a、b、c是三个不全为0的整数,且有整数t使得a=bt