平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第12讲 子博弈与完美性).doc

平新乔《微观经济学十八讲》第12讲子博弈与完美性
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,假定有个生产企业,需求函数为,其中是市场价格,是个生产企业的总供给量。假定博弈重复无穷多次,每次的价格都立即被观测到,企业使用“触发策略”(一旦某个企业选择垄断价格,则执行“冷酷策略”)。求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子?解释与的关系。
解:(1)①当个企业合谋时:
假设该行业中任一企业的边际成本恒为,。个生产企业的总利润函数为:
利润最大化的一阶条件为:,解得垄断总产出为。
此时垄断价格为:
从而垄断的总利润和每个厂商的利润分别为:
考虑时期企业的选择,给定其他企业按照垄断条件生产,若企业仍遵守垄断定价,那么它从期开始的利润的现值为:
②当有企业背叛时:
给定其他企业按照垄断条件生产,即。若企业选择背离垄断价格,那么它的利润最大化问题就是:
由一阶条件得:
厂商相应的利润为:
又因为在期,企业不遵守垄断定价规则,所以从期开始,它的利润就恒为零。因此,其中代表背叛垄断定价。
为了使垄断价格可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现,那么合谋时企业利润的现值就不应当低于背叛时的现值,即,从而解得贴现因子的最小值为:
(2)因为关于单调递增,这就意味着:越大,即行业中的企业越多时,不遵守垄断规则,图一时好处的吸引力就越大,因此,只有通过更高的折现率来提高未来收益在利润中的权重,才能保持厂商遵守垄断规则。
-1给出了一个两人的同时博弈,若这个同时博弈进行两次,第二次博弈是在知道第一次博弈的前提下进行的,并且不存在贴现因子。收益(4,4)能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果吗?如果它能够,给出策略组合;如果不能够,请说明为什么不能?
表12-1 博弈的支付矩阵
答:(1)收益(4,4)能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果出现。
假定支付矩阵的左侧表示参与人1的策略,支付矩阵的上侧表示参与人2的策略选择。那么,当参与人1选择时,参与人2的最优策略为;当参与人2选择时,参与人1的最优策略为,因此策略组合(,)为第一次博弈的结果,对应的支付为(4,4)。故收益(4,4)能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果。
(2)每个人的策略如下:
参与人1的策略:
第一次博弈:选择;
第二次博弈:若自己首次选择的是,那么这次就选;若自己首次未选,那么这次就选。
参与人2的策略:
第一次博弈:选择;
第二次博弈:若参与人1在第一次博弈中选择的是,那么参与人2这次就选;若参与人1在第一次博弈中未选择,那么参与人2这次就选。
给定上述策略,子博弈完美的纳什均衡的结果为:第一次博弈中,参与人1选择,参与人2选择;第二次博弈中,参与人1选择,参与人2选择。下面来证明:
首先看第二阶段的博弈。支付矩阵表明(,)