数学建模 案例分析.doc

数学建模
目录
第一讲数学建模导言 1
一、数学模型及分类 1
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二、数学建模示例 3
示例一:四足动物体重估计的经验公式 3
示例二:核武器竞赛 5
示例三:围棋中的奥密 7
示例四:三级火箭的设计 11
三、数学建模的一般过程 16 讨论题: 18
第二讲初等数学模型 21
问题一:冷轧机的工作原理 21
问题二:奇妙的蜂房 23
问题三:代表名额的公平分配 26
问题四:双层玻璃窗的功效 28
问题五:航船的阻力 31 讨论题 34
第三讲微积优化模型 37
问题一:椅子能在不平的地面上放稳吗? 37
问题二:走路步长如何选择 39
问题三:平衡状态的交通流 40
问题四:血管分支 43
问题五:存贮模型 46 讨论题: 52
第四讲微分方程模型 54
问题一: 简单人口增长模型 54
问题二:森林最优采伐模型 57
问题三:香烟过滤嘴的作用 60
问题四:赛跑问题 66
问题五:药物在体内的分布与排除 72 讨论题: 76
第五讲代数模型 78
问题一:人口结构模型 78
问题二:循环比赛的名次 83
问题三:基因遗传问题 87
问题四:定编定岗问题 91 讨论题: 97
第六讲随机模型 100
问题一:传染病的流行 100
问题二:生物数量随机模型 102
问题三:销售商品广告中的问题 105
问题四:性别危机 109
问题五:报童问题 111 讨论题: 114
第一讲数学建模导言
一、数学模型及分类

原型和模型原型(Prototype)和模型(Model)是一对对偶体。原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统(System),过程(Process)等词汇,如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统,又如钢铁冶炼过程、导弹运行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。即现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物,是原形的模拟仿真。
我们已经看到模型有各种形式。用模型替代原型的方式来分类,模型可以分为物质模型(形象模型)和理想模型(抽象模型)。前者包括直观模型、物理模型等,后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
符号模型是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等按一定形式组合起来描述原型。如地图,电路图、化学结构式等。具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。
数学模型则是由数字、字母或其它数学符号组成的,描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
数学是揭示事物数量关系、空间结构的科学理论与技术。但是,现实世界的问题往往是十分复杂的,在抽象为数学模型过程中,不可能完全模仿现实世界,只有抓住主要因素,忽略次要因素,即作一些简化假设,才能够建立合适数学模型,运用数学方法解决问题。
因此,我们也可认为数学模型是对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。不言而喻,建立数学模型的全过程就是数学建模。一般它是极其复杂的过程。
马克思曾说过:“一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步”。可以认为数学在各门科学中被应用的水平,标志着这门科学发展的水平。随着科学技术的进步,特别是电子计算机技术的迅速发展,数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设,从经济活动到社会生活的各个领域。一般地说,当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时,往往都离不开数学的应用,而建立数学模型则是这个过程的关键环节。

数学模型是解决实际问题的重要工具,但是,它有自己的优点,也有弱点。我们了解数学模型的特点,结合丰富专业知识,建模过程中注意掌握分寸,灵活运用数学模型,恰如其份发挥数学模型作用。数学模型的特点概括如下:
数学模型的仿真性数学建模是为一定的研究目的,具有征对性的活动。数学模型有是对现实事物原型的某方面仿真,有是系统的某些因素作用的仿真,其目的是了解它们的数量规律。模型与原型越“逼真”,模型“效果”就越好。
数学模型的可行性数学模型是原型的仿真,但数学建模一般不能考虑全部的因素,进行所有因素的仿真,这样很难保证数学建模技术可行性。即使技术可行,也可能由于数学建模费用太高,经济上是不可行的。因此,数学建模必须保证可行性。对此一般做法是问题进行简化、抽象,提出合理