五年级数学校本教材.pdf

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五年级数学校本教材:.
上册
第一讲中国古代数学家刘徽
刘徽-简介
刘徽九章算术
刘徽(生于公元250年左右),是中国数学史上一个非常伟大
的数学家,在世界数学史上,《九章算
术注》和《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初,共有246个问题的解法。在许
多方面:如解联立方程,分数四则运算,正负数运算,几何图形的体
积面积计算等,都属于世界先进之列,但因解法比较原始,缺乏必要
的证明,而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中,显示了他在
,并
用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面,他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法
则;,提出了"割圆术",即将:.

利用割圆术科学地求出了圆周率π=。他用割圆术,从直
径为2尺的圆内接正六边形开始割圆,依次得正12边形、正24边
形……,割得越细,正多边形面积和圆面积之差越小,用他的原话说
是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体
而无所失矣。”
的计算圆周率的科学方法,奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界
上的领先地位。
刘徽在数学上的贡献极多,在开方不尽的问题中提出“求徽数”
的思想,这方法与后来求无理根的近似值的方法一致,它不仅是圆周
率精确计算的必要条件,而且促进了十进小数的产生;在线性方程组
解法中,他创造了比直除法更简便的互乘相消法,与现今解法基本一
致;并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”;他还建立了等
差级数前n项和公式;提出并定义了许多数学概念:如幂(面积);
方程(线性方程组);
断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都合乎逻辑,十分严谨,
从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础
,但他注《九章算术》所运
用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并
以数学证明为其联系纽带的理论体系.
刘徽在割圆术中提出的"割之弥细,所失弥少,割之又割以至于
不可割,则与圆合体而无所失矣",这可视为中国古代极限观念的佳:.
作.《海岛算经》一书中,刘徽精心选编了九个测量问题,这些题目
的创造性、复杂性和富有代表性,
敏捷,方法灵活,

,,而
是学而不厌的伟人,他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

勒内·笛卡尔
勒内·笛卡尔(ReneDescartes,1596——1650),著名的法国哲学
家、科学家和数学家。笛卡尔常作笛卡儿,1596年3月31日生于
法国安德尔-卢瓦尔省笛卡尔-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔
摩)。他对现代数学的发展做出了重要的贡献,因将几何坐标体系
公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基
人,是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思
想深深影响了之后的几代欧洲人,开拓了所谓“欧陆理性主义”哲
学。
人物简介:.
:.
:.
例1:(凑整法)计算下面各题。
(1)、+++
(2)、1999+++
(3)、--
(4)、+++++
【思路点拨】
(1),,这样凑整可
以式计算简便。(2)1999接近2000,其余各加数也分别接近一个整
数,可先把各加数看作与它接近的整数。再把多加的那部分减去。(3)
,可以运用减法运算的性质把原式变为
-(+),这样计算就简便了。(4)算式中的6个数都
接近8,可以用8作为基准数,先求出6个8的和,再加上比8大的
数中少加的部分,减去比8小的数中多加的部分。也可以运用凑整法。
例2:(分解法)计算下面各题
(1)18×(2)×(3)×
(4)238÷(5)××
【思路点拨】
(1)运用分解法巧算。把18分解为9×2,然后运用乘法结合律,
把2×,最后求出9与11的积。(2)
8×,然后运用乘法结合律。(3)因为4×=1,所以一个数
,就相当于这个数除以4.(4)因为8×=10,所以一个
,相当于这个数除以10,再乘8,即先把小数点向左移:.
动一位,再乘8.(5)×,在运用乘法结合律。
例3:计算
(1)++++
(2)÷×
【思路点拨】(1)可运用拆分法巧算。把每一个加数都拆分为一个整
数和一个小数的和,可以使计算简便。(2)运用改变运算顺序法式计
算简便。,,
×100的积。
例4:计算下面各题。
(1)1990×-1989×
(2)×+264×+×+×20
【思路点拨】(1)利用扩缩法巧算。根据积的变化规律:一个因数扩
大若干倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变的道理,可以把被减
数写成199×1989,然后利用乘法分配律巧算。(2)同样利用扩缩法
简便计算,注意选择最佳方案。
例5:计算:
(1++)×(++)-(1+++
)×(+)
【思路点拨】可以利用设数法解题。整个式子是乘积之差的形式,两
个乘积斗的构成很有规律:如果把1++,
+,原式就可以变成A×(B+)-(A
+)×B。在运用乘法分配律使计算简便。:.
例6:×+×-×
【思路点拨】先改变原运算顺序(加法交换律),×
×,××,
后运用乘法分配律计算,×,再次运用乘法分
配律巧算。
例7:计算654321×123456-654322×123455.
【思路点拨】观察算式中数的特点,发现被减数中的两个因数分别比
减数中的两个因数少1和多1,即654321比654322少1,123456比
123455多1,可以利用乘法分配律简算。
解:654321×123456-654322×123455
=654321×(123455+1)-(654321+1)×123455
=654321×123455+654321-654321×123455-123455
=654321-123455
=530866
例8:计算1998×199919991999-1999×199819981998
【思路点拨】可以运用数的分解和乘法分配律简算。因为abab=ab×
101,abcabc=abc×1001,所以199919991999=1999×
100010001,199819981998=1998×
有相同因数100010001,就可以运用乘法分配律进行简算了。
解:1998×199919991999-1999×199819981998
=1998×1999×100010001-1999×1998×100010001
=0:.
例9:计算(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
【思路点拨】根据减法的性质,将原式拆开后,在配对组合,进行
等量变形。即(3-2)为一组,(5-4)为一组…(1999-1998)为
一组,这样每组的差都是1,共分为(1998÷2)组,所以结果为1000.
当然本题也可以运用等差数列求和的方法进行计算。
例10:计算100+99-98-97+96+95-94-93+…+8+7-6-5
+4+3-2-1.
【思路点拨】本题按顺序计算太繁,观察算式的特点,发现每两个
数相加后,又会减去两个数,我们可以考虑把它们四个数分为一组,
每组结果都是4,共分为100÷4=25组。所以结果是4×25=100.
三、同步练****br/>计算下面各题
(1)××32(2)16×(3)××
(4)++++
(5)(72×357+357×28)÷(51×7×4)
(6)98989898×99999999÷1010101÷11111111
(7)×+×-
(8)1240×+124×51+×1400+760×+×700
(9)1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷…÷(1999÷2000)
1-2+3-4+5-6+…-98+99-100+100
(10)(2+5+8+…+2000)-(1+4+7+…+1999)
20112012×20122011-20112011×20122012:.
(11)1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-14-15-16
+…+1985+1986+1987+1988-1989-1990-1991-1992
+1993+1994
第四讲平面图形的面积(1)
一、例题精讲
例1已知平行四边形的面积是28平方厘米,求阴影部分的面积。
5厘米
4
厘
【思路点拨】
4厘米既是平行四边形的高,也是阴影三角形的高,平行四边形
的面积是28平方厘米,它的底为28÷4=7(厘米),平行四边形的底
减去5厘米就是三角形的底,7-5=2(厘米)。根据三角形的面积公式
直接求出阴影部分的面积。
技巧
求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影
面积;还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。这两种是
最常用最简便的方法。
二:同步精练:.
,阴影部分的面积是150平方厘米,求梯形的面积。
15厘
25厘
,求阴影部分的面积。
5厘米
6
厘
,需要用铁丝多少厘米?
(单位:厘米)
9
12
第五讲平面图形的面积(2)
一、例题精讲
例2下图中甲和乙都是正方形,求阴影部分的面积。(单位:厘米)
GA
C
甲
乙
B6E4F
【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形,它的三条边的长都不知
道,三条边上的高也不知道。所以,无法用公式计算出它的面积。:.
仔细观察本题的图,我们可以发现,如果延长GA和FC,它们
会相交(设交点为H),这样就得到长方形GBFH(如下图),它的
面积很容易求,而长方形GBFH中除阴影部分之外的其他三部分(△
AGB、△BFC及△AHC)的面积都能直接求出。
二、同步练****br/>1、求下图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
4
3
43
、求下图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
8
5
8
5
第六讲平面图形的面积(3)
一、例题精讲
例如图所示:,甲三角形的面积比乙三角形的面积大平方
厘米,求的长度。:.
A4D
甲
4
F
厘
乙
BE
C
【思路点拨】题目中告诉我们,甲三角形的面积比乙三角形的面
积大平方厘米,即甲乙(平方厘米),而甲和乙分别加上四边形
后相减的结果还是平方厘米,即:甲乙(平方厘米)
(甲四边形)(乙四边形)(平方厘米)
即:正方形△(平方厘米)
这就是说正方形的面积比三角形的面积大平方厘米。
用正方形的面积减去就得到三角形的面积,再用三角形的面
积乘以再除以,就得到的长度,从而求出的长度。
同步练****br/>1、四边形ABCD是一个长为10厘米,宽6厘米的长方形,三角
形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。求CF的长是多少
厘米?
F
E
DC
AB
2、正方形ABCD的边长是12厘米,已知DE是EC长度的2倍,求:
AD:.
(1)三角形DEF的面积。
(2)CF的长。
第七讲:逻辑推理(1)
一、知识要点
四年级已经学****过用列表法和假设法解答逻辑推理问题。从广义
上说,任何一道数学题,任何一个思维过程,都需要逻辑分析、判断
和推理。我们这里所说的逻辑问题,是指那些主要不是通过计算,而
是通过逻辑分析、判断和推理,得出正确结论的问题。
逻辑推理必须遵守四条基本规律:
(1)同一律。在同一推理过程中,每个概念的含义,每个判断
都应从始至终保持一致,不能改变。
(2)矛盾律。在同一推理过程中,对同一对象的两个互相矛盾
的判断,至少有一个是错误的。例如,“这个数大于8”和“这个数
小于5”是两个互相矛盾的判断,其中至少有一个是错的,甚至两个
都是错的。
(3)排中律。在同一推理过程中,对同一对象的两个恰好相反
的判断必有一个是对的,它们不能同时都错。例如“这个数大于8”
和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断,其中必有一个是对的,
一个是错的。:.
(4)理由充足律。在一个推理过程中,要确认某一判断是对的
或不对的,必须有充足的理由。
我们在日常生活和学****中,在思考、分析问题时,都自觉或不自
觉地使用着上面的规则,只是没有加以总结。例如假设法,根据假设
推出与已知条件矛盾,从而否定假设,就是利用了矛盾律。在列表法
中,对同一事件“√”与“×”只有一个成立,就是利用了排中律。
二、例题精讲
例1张聪、王仁、陈来三位老师担任五(2)班的语文、数学、
英语、音乐、美术、体育六门课的教学,每人教两门。现知道:
(1)英语老师和数学老师是邻居;
(2)王仁年纪最小;
(3)张聪喜欢和体育老师、数学老师来往;
(4)体育老师比语文老师年龄大;
(5)王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。
请判断各人分别教的是哪两门课程。
分析与解:题中给出的已知条件较复杂,我们用列表法求解。先
设计出右图的表格,表内用“√”表示肯定,用“×”表示否定。因
为题目说“每人教两门”,所以每一横行都应有2个“√”;因为每
门课只有一人教,所以每一竖列都只有1个“√”,其余均为“×”。
:.
由(3)知,张聪不是体育、数学老师;由(5)知,王仁不是语
文、音乐老师;由(2)(4)知,王仁不是体育老师,推知陈来是体
育老师。至此,得到左下表。
由(3)知,体育老师与数学老师不是一个人,即陈来不是数学
老师,推知王仁是数学老师;由(1)知,数学老师王仁不是英语老
师,推知王仁是美术老师。至此,得到右上表。
由(4)知,体育老师陈来与语文老师不是一个人,即陈来不是
语文老师,推知张聪是语文老师;由(5)知,语文老师张聪不是音
乐老师,推知陈来是音乐老师;最后得到张聪是英语老师,见下表。
所以,张聪教语文、英语,王仁教数学、美术,陈来教音乐、体
育。
以上推理过程中,除充分利用已知条件外,还将前面已经推出的
正确结果作为后面推理的已知条件,充分加以利用。另外,还充分利:.
用了表格中每行只有两个“√”,每列只有一个“√”,其余都是“×”
这个隐含条件。
例1的推理方法是不断排斥不可能的情况,选取符合条件的结
论,这种方法叫做排他法。
例2小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项,
并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道:
(1)小明不在一小;
(2)小芳不在二小;
(3)爱好乒乓球的不在三小;
(4)爱好游泳的在一小;
(5)爱好游泳的不是小芳。
问:三人上各爱好什么运动?各上哪所小学?
分析与解:这道题比例1复杂,因为要判断人、学校和爱好三个
内容。与四年级第26讲例4类似,先将题目条件中给出的关系用下
面的表1、表2、表3表示:
因为各表中,每行每列只能有一个“√”,所以表3可补全为表
4。:.
由表4、表2知道,爱好游泳的在一小,小芳不爱游泳,所以小
芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4,得到:小
明在二小上学,爱好打乒乓球;小芳在三小上学,爱好打羽毛球;小
花在一小上学,爱好游泳。
例1、例2用列表法求解。下面,我们用分析推理的方法解例3、
例4。
例3小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。
有一天他们来到了“两面国”,却忘记了这一天是星期几。迎面见了
“两面国”里的牛头和马面。他们知道,牛头在星期一、二、三说假
话,在星期四、五、六、日说真话;马面在星期四、五、六说假话,
在星期一、二、三、日说真话。牛头说:“昨天是我说假话的日子。”
马面说:“真巧,昨天也是我说假话的日子。”
请判断这一天是星期几。
分析与解:因为牛头、马面只有星期日都说真话,其它时间总是
一个说真话,另一个说假话,所以这一天不是星期日,否则星期六都
说假话,与题意不符。
由题意知,这一天说真话的,前一天必说假话;这一天说假话的,
前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换
的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子,:.
所以这一天不是星期二、三、五、六;星期一是牛头由说真话变为说
假话的日子,但不是马面由说假话变为说真话的日子,所以这一天也
不是星期一;星期四是牛头由说假话变为说真话的日子,也是马面由
说真话变为说假话的日子,所以这天是星期四。
例4A,B,C,D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事,
班主任把这四人找来了解情况,四人分别回答如下。
A:“C,D两人中有人做了好事。”
B:“C做了好事,我没做。”
C:“A,D中只有一人做了好事。”
D:“B说的是事实。”
最后通过仔细分析调查,发现四人中有两人说的是事实,另两人
说的与事实有出入。到底是谁做了好事?
分析与解:我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事
实,另两人说的与事实有出入。注意,此处的“与事实有出入”表示
不完全与事实相符,比如,当B,C都做了好事,或B,C都没做好
事,或B做了好事而C没做好事时,B说的话都与事实有出入。
因为B与D说的是一样的,所以只有两种可能,要么B与D正
确,A与C错;要么B与D错,A与C正确。(1)假设B与D说
的话正确。这时C做了好事,A说C,D两人中有人做了好事,A
说的话也正确,这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以
假设不对。:.
(2)假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C,或B
与D,或C与D。若做好事的是A与C,或C与D,则B说的话也
正确,与题意不符;若做好事的是B与D,则B说的话与事实不符,
符合题意。
综上所述,做好事的是B与D。
三、同步练****br/>,B,C,D,E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂
的问题。今天他们又聚在了一起,回忆当时的情景。
A说:“我坐在B的旁边。”
B说:“坐在我左边的不是C就是D。”
C说:“我挨着D。”
D说:“C坐在B的右边。”
实际上他们都记错了。你能说出当时他们是怎样坐的吗?没有发
言的E的左边是谁?
,B,C,D,E,F六种产品中挑选出部分产品去参加博
览会。根据挑选规则,参展产品满足下列要求:
(1)A,B两种产品中至少选一种;
(2)A,D两种产品不能同时入选;
(3)A,E,F三种产品中要选两种;
(4)B,C两种产品都入选或都不能入选;
(5)C,D两种产品中选一种;
(6)若D种产品不入选,则E种也不能入选。:.
问:哪几种产品被选中参展?
,分别是小平(女)、小红(女)和
小虎(男),孩子的爸爸是老王、老张和老陈,妈妈是刘英、李玲和
方丽。
(1)老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队;
(2)老张的女儿不是小红;
(3)老陈和方丽不是一家人。
请你将三户人家区分开。
、乙、丙三人,他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东,他们
的职业分别是教师、工人、演员。已知:
(1)甲不是辽宁人,乙不是广西人;
(2)辽宁人不是演员,广西人是教师;
(3)乙不是工人。
求这三人各自的籍贯和职业。
:“乙和丙都说谎。”乙说:“甲和丙都说谎。”丙说:
“甲和乙都说谎。”根据三人所说,你判断一下,下面的结论哪一个
正确:
(1)三人都说谎;
(2)三人都不说谎;
(3)三人中只有一人说谎;
(4)三人中只有一人不说谎。:.
,他们的年龄各不相同,最大
的10岁,最小的4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁,最大的男
孩比最小的女孩也大4岁,求最大的男孩的岁数。
第八讲逻辑问题(2)
一、例题精讲
例1老师拿来五顶帽子,两顶红的三顶白的。他让三个聪明的同学
甲、乙、丙按甲、乙、丙的顺序排成一路纵队,并闭上眼睛,然后分
别给他们各戴上一顶帽子,同时把余下的帽子藏起来。当他们睁开眼
后,乙和丙都判断不出自己所戴帽子的颜色,而站在最前面的甲却根
据此情况判断出了自己所戴帽子的颜色。
甲戴的帽子是什么颜色?他是怎样判断的?
分析与解:这是一个典型的逻辑推理问题。甲站在最前面,虽然
看不见任何一顶帽子,但他可以想到:如果我和乙戴的都是红帽子,
因为一共只有两顶红帽子,那么丙就会判断出自己戴的是白帽子。丙
判断不出自己戴的帽子的颜色,说明我和乙戴的帽子是两白或一白一
红。
甲接着想:乙也很聪明,当他看到丙判断不出自己戴的帽子的颜
色时,他也能判断出我们两人戴的帽子是两白或一白一红。此时,如
果他看到我戴是红帽子,那么他就会知道自己戴的是白帽子,只有我
戴的是白帽子时,他才可能猜不出自己戴的帽子的颜色。所以,我戴
的一定是白帽子。
例1中,甲的分析非常精采,严密而无懈可击。:.
例2三个盒子各装两个球,分别是两个黑球、两个白球、一个黑
球一个白球。封装后,发现三个盒子的标签全部贴错。如果只允许打
开一个盒子,拿出其中一个球看,那么能把标签全部纠正过来吗?
分析与解:因为“三个盒子的标签全部贴错”了,贴错的情况见
下图(○表示白球,●表示黑球):
如果从标签是两黑的盒子中拿一个球,那么最不利的情况是拿出
一个白球,此时无法判定是实际情况1,还是实际情况2,也就无法
把标签全部纠正过来;
同理,从标签是两白的盒子中拿一个球,若拿的是黑球,则也无
法把标签全部纠正过来;
从标签是一黑一白的盒子中拿出一个球,若拿出的是黑球,则能
确定出是实际情况1,若拿出的是白球,则能确定出是实际情况2,
因此能把标签全部纠正过来。
所以,只要从标签是一黑一白的盒子中拿一个球,就能纠正全部
标签。
例3A,B,C三名同学参加了一次标准化考试,试题共10道,
都是正误题,每道题10分,满分为100分。正确画“√”,错误画
“×”。他们的答卷如下表::.
考试成绩公布后,三人都得70分。请你给出各题的正确答案。
分析与解:我们先分析一下三人的得分情况。因为三人都得70
分,所以每人都错了3道题。比较A,B的答卷发现,他们有6道题
的答案不一样,说明这6道题A,B两人各错3道,也就是说,A,B
答案相同的题都对了,因此找到了第1,3,4,10题的正确答案。同
理,A,C的答卷也有6道题的答案不一样,因此找到了第3,6,8,
9题的正确答案;同理B,C的答卷也有6道题的答案不一样,因此
找到了第2,3,5,7题的正确答案。各题的正确答案如下表:
例4A,B,C,D,E五位选手进行乒乓球循环赛,每两人都只赛
一盘。规定胜者得2分,负者不得分。现在知道的比赛结果是:A与
B并列第一名(有两个并列第一名,就不再设第二名,下一个名次规
定为第三名),D比C的名次高,每个人都至少胜了一盘。试求每人
的得分。
分析与解:因为乒乓球比赛没有平局,所以求胜的盘数与得分是
一回事,胜的盘数乘以2就是得分。五人进行循环赛,共需赛10盘,
总得分是2×10=20(分)。:.
因为每人都赛4盘