菱形问题分类例析.doc

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动手操作折菱形
折纸是一种既有趣味性,同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动,通过折纸可以得到许多美丽的图案,下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。
一、从三角形纸片中折出菱形
例1、将一张三角形的纸片ABC按照如下的折叠步骤进行折叠:
O
图1
(1)将三角形的纸片ABC沿过B点的某条直线折叠,使BC与BA重合,得到折痕与AC的交点D。
(2)再将三角形的纸片ABC沿某条直线折叠,使点B与点D重合,得到折痕与BA、BC的交点E、F。
则四边形EBFD是菱形。
分析:关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等,然后熟练利用菱形的判定进行说理。本题说明四边形EBFD是菱形的方法很多,下面一一予以说明。
解:由第一步折叠可知:∠ABD=∠CBD,
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由第二步折叠可知:EF垂直平分BD,
∴BE=DE,DF=BF,OD=OB,
∴∠ABD=∠EDB.
∴∠EDB=∠CBD.
又∵∠EOD=∠FOB,∴△EOD≌△FOB,∴DE=BF.
∴BE=DE=DF=BF.
∴四边形EBFD是菱形(四边相等的矩形是菱形).
二、从矩形纸片中折出菱形
例2、把一张矩形的纸ABCD按照如下的折叠步骤进行折叠:
图2
O
将矩形的纸片ABCD沿某条直线折叠,使点B与点D重合,得到折痕与AD、BC的交点E、F。
则四边形EBFD是菱形。
分析:虽然纸片不同,但方法同例1一样,说明四边形EBFD是菱形的方法还有很多,下面只选一种予以说明。
解:由折叠可知:EF垂直平分BD,∴BE=DE,DF=BF,OD=OB,
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∴∠EBD=∠EDB.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EDB=∠FBD,又∵∠EOD=∠FOB,∴△EOD≌△FOB,∴DE=BF.
∴BE=DE=DF=BF.
∴四边形EBFD是菱形(四边相等的矩形是菱形).
菱形中的计算题
在矩形中,常见的计算题有求线段的长,角的度数,图形的周长与面积等。菱形作为特殊的平行四边形问题,平行四边形的性质它都具有,同时还具有它本身所特有的性质,即菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。下面举例说明这些性质在解题中的应用。
一、求角的度数
图1
例1、如图1,菱形ABCD的
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AB=AC,∠BAE=∠CAF,
所以△ABE≌△ACF,所以AE=AF,
因为∠EAF=60°,所以△AEF是等边三角形,即∠AEF=60°,
因为∠AEC=∠B+∠BAE=60°+20°=80°,
所以∠CEF=∠AEC-∠AEF=80°-60°=20°.
二、求线段的长
图3
例3、菱形的周长为20㎝,相邻两角的度数之比为1:2,求菱形的较短的对角线长。
解析:如图3,因为四边形ABCD为菱形,则CD∥AB,所以∠A+∠ADC=180°,又∠A:∠ADC=1:2,则∠A=60°,又因为菱形的四条边相等,即AB=AD=5㎝,所以ABD为等边三角形,所以AB=BD=5cm,则菱形的较短的对角线长为5cm。
三、求图形的周长
O
图4
例4、如图4,菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是24和10,则菱形的周长为,面积为。
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解析:由于菱形的两条对角线互相垂直平分,所以OA=12,OB=5,所以AB===13,又菱形的四条边都相等,所以菱形的周长为52。
又菱形的面积为S△ABD+S△BCD=BD×OA+BD×OC=BD×(OA+OC)=BD×AC=120。
由此可以得到,菱形的面积等于两条对角线积的一半。
四、求图形的面积
图5
例5、如图5,菱形ABCD中,AB=4,E为BC的中点,AE⊥BC于E,AF⊥CD于点F,CG∥AE,CG与AF交于点H,交AD于点G
(1)求菱形ABCD的面积
(2)求∠CHA的度数
解析:(1)连结AC,∵E为BC的中点,AE⊥BC,∴AB=AC,又∵菱形的四边相等,∴AB=BC=AC=4,
∴AE==2,
∴菱形ABCD的面积为4×2=8
(2)因为CG∥AE,又AE⊥BC,所以CG⊥CD,又可得
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△ACD为等边三角形,AF⊥CD,易得∠DAF=30°,所以∠AHG=60°,∴∠CHA=120°。
说明:此题也可以利用RtABO求出BO的长,从而求出BD长,利用菱形ABCD的面积是其对角线积的一半,求出菱形的面积。
综观上述例题,我们可以看出,菱形的对角线将矩形分成四个等腰三角形和四个全等的直角三角形,再由特殊角,又可得某些等边三角形,然后利用等边三角形的性质以及勾股定理来解决问题。解决菱形问题时,在充分运用它们边、角和对角线的性质同时,还常常把它们转化为等腰三角形和直角三角形中的问题,将等腰三角形和直角三角形的性质和矩形、菱形的性质结合起来进行求解。
O
图7
练****br/>1、如图7,在菱形ABCD中,不一定成立的( )
(A)四边形ABCD是平行四边形 (B)AC⊥BD
(C)△ABD是等边三角形 (D)∠CAB=∠CAD
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答案:菱形作为特殊的平行四边形,平行四边形的性质它都具有,同时它还具有平行四边形不具有的性质:四条边都相等,对角线互相垂直,每一条对角线都平分一组对角。所以A、B、D都是正确的,△ABD只能是等腰三角形,要是等边三角形,还需增加条件。故选C。
菱形“条件追溯型”试题赏析
这类问题的基本特征是:针对一个结论,条件未知需探索,或条件增删需确定,:执果索因,先寻找结论成立的必要条件,“执果索因”的过程中,常常会犯的一个错误是
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不考虑推理过程的可逆与否,误将必要条件当作充分条件,,予以分析.
A
D
C
B
图1
O
例1如图1,四边形的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是(只填一个你认为正确的即可).
解析:本题是对菱形判定的直接考查,比较容易,只要对判定方法熟悉,,所以四边形为平行四边形,若应用一组邻边相等的平行四边形是菱形来判定,则需要添加条件AB=BC;⊥BD.
图2
例2如图2,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.
(1)求证:△ABE≌△ACE
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.
分析:欲证△ABE≌△ACE,因为AB=AC,AE是公共边,只需证其夹角相等,这可由等腰三角形的三线合一性质得到;(2)若
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