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非周期性环境的流行阈值共振.docx


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摘要:
关键词:共共振,流行行阈值,SSEIR模模型,微扰扰理论,生生殖值。
在一些一个个流行疾病病和一个季季节性阶段段接触率的的自然周期期之间的共共鸣已经被被深入的研研究。本文文章没有集集中在流行行病的共振振上而是新新出现的疾疾病上的共共振。周期期性能在初初始增长率率上有重要要的影响从从而影响流流行阈值。当欧拉—洛特卡方程有一个复杂的根和虚部(即自然频率)接近于接触率的角频率和实部接近于马尔萨斯参数。这是一种连续时间的工作模拟通过Tuljapurkar在离散人口模拟,反过来又是科尔在连续时间定期出生人口模型上的工作。我们每周定期接触不同共振现象说明了几个简单的流行病模型,并解释了一些令人吃惊的差异,例如在定期SEIR模型与指数分布的延迟之间和相同的模式,但与一个固定的延迟。
1、说明
根据。。。我我们至少知知道传染性性疾病可以以在附近的的一个地方方性的稳定定状态表现现阻尼震荡荡。事实上上,在常微微分方程系系统的基础础上用一个个简单的模模型,他们们可以看出出在这种流流行的稳态态上的雅可可比矩阵的的特征方程程有复杂的的根可以确确定一定的的振荡“自然周期期”。自19970年和和特别是自自“混乱理论”的兴起,一一个庞大的的身躯文学学已经表明明在这种自自然周期和和季节性的的定期接触触率之间或或者另一种种周期性因因素能引起起一些意想想不到的动动力学行为为,即使在在很简单的的非线性数数学模型。第第一,当线线性方程的的特征方程程接近地方方性的稳定定状态有一一个复杂的的根和虚部部接近于角角频率接触触率和一个个实部接近近于0(“简单的共共振”),然后后在接触率率上相对小小的震荡能能在患病率率上引起大大的震荡。第第二,当接接近于一个个有理数小小P和q和和足够大的的接触率的的振荡幅度度,患病率率可以在一一个次谐波波频率上摆摆动。混乱也可能会会出现一定定参数值范范围。通过过这种方式式,这个理理论可以尝尝试用来解解释一些疾疾病的发病病率时间序序列如麻疹疹,大约每每两年在一一些城市这这个用于流流行但是和和疫情,因因此认为有有一个在流流行的稳态态附近摆动动的“自然阶段段”接近于两两年。在生生态研究上上,在波动动的环境和和一个非零零的稳态附附近的一些些自然周期期震荡之间间的类似的的共振现象象也已经被被研究,例例如。。
独立的从这这一思路,从从。。我们们知道连续续时间线性性的人口模模型的特征征方程(或
或是欧拉-洛特特卡方程)也也有复杂的的根,就是是引起“人口波动动”。洛特卡卡原以为总是是有这样无无限的根并并且提出了了一些参数数表明他们们之中的一一个“通常”有相关的自自然周期接接近于一代代人,这是是在人群中的的二,三十十年的顺序序。,这个现象他他也叫做共共振。相关关研究侧重重于振荡幅幅度的共鸣鸣(而不是是在共振的的增长速度度)在连续续时间线性性模型中可可以找到。对对于在定期期环境下的的离散时间间(线性)的的矩阵人口口模型,共共振被Tuuljappurkaar研究,并并且:鉴于于指数变换换连接离散散时间和连连续时间模模型,当描述生生长在一个个稳定的环环境的矩阵有一个个复杂的特特征值和一一个相关的的角频率反反正切接近近于和一个不太太远的谱半半径系数时时共振。再再次,重点点在振荡幅幅度的共振振上而不是是在增长率率的共振上上。
通过线性化化的非线性性传染病模模型接近无无病的稳态态(不是流流行的稳态态)产生的的数学模型型跟上段中中提到的人人口线性模模型十分相相似,变量量的年龄因因为感染时时间而替代代。因此,人们所期望的,共振的初始增长率(改变相当的流行阈值)也发生在一个周期的环境。这可能是对新出现的疾病一些重要的后果。根据潜伏期,注意然而对于许多空气传染的疾病,在两代抗感染药之间的平均时间一或者两周的顺序。因此,如果接触率随一段时间以相同的顺序那么共振只可以预计先验,通常,如果它是不同的每周。如果我们认为这可能是不同的接触率在本周日和周末期间,这不是没有道理。对于上学的孩子,接触率可能在周末会下降。一点可以认为在那些一周前被卖到市场的动物是一种传染病。
第二节回顾顾怎么样在在计算连续续时间线性性定期进行行的人口增增长率模型型。一个普通通的一阶微微扰公式涉涉及生殖价价值的概念念(在一个个周期的环环境)被建建立。但是是对于对于于一个小的的周期扰动动模型与时时间无关的的系数,这这个公式表表明研究共共振的增长长速度必须须包括第二二阶项。
第三节列出出学****共振振的三种不不同的讨论论方法。前两种方方法,一个个纯粹的数数值和其他他部分的分分析,都是是基于我们们先前的工工作。第三三个方法表表明,作为为一个预计计,共振的的增长速度度当欧拉--洛特卡卡方程有一一个复杂的的根和虚部部接近于接接触率的角角频率并且且实部接近近于马尔萨萨斯参数(还还有一个技技术条件)。
第四节应用用三种方法法到下面五五种经典的的疫情模型型和定期接接触率为了了去表明只只有细微差差别的模型型如何能有有相当不同同的属性::
—具有带有有指数(即即分布式指指数)传染染期的SIIR模型,最初的增长速度是不可能的共鸣。这里是强调这是在这个意义非凡的模型,最初的增长速度甚至完全是与周期性因素的频率无关。这个模型负责常见的但是不正确的想法线性模型和周期系数很容易处理通过一些平均的种类。
—具有恒定定的传染期期的SIR模模型,共振振是可能的的。但是使使用此参数数值,共振振原来是很很微弱的。
—具有指数数潜伏和传传染期的SSIR模型型,共振是是不可能的的,但是凡凡增长率取取决于周期期性因素,不不像第一个个SIR模模型。
—具有恒定定的潜伏期期和指数传传染期的SSIR模型型,不像前前面的模型型,一个强强烈的共振振是可能的的。
—具有伽马马的潜伏期期和指数传传染期的SSIR模型型,是对前两两个模型的的泛化,并并且表明共共振变成不不可能的因因为潜伏期期的分布逐逐渐从一步步变化到一一个指数。
一个关键点点是与时间间无关的欧拉--洛特卡卡方程可能能有不超过过一个复杂杂的实根其其他根,这这个已经被被。。注意意到。当然然,两种只是不不同的时间间分配的传染病模模型花了一一个舱室可可能有相当当不同的定定性性质已已经被知道道了很久,例例如,从为自治区传传染病模型型周期解的的存在性研研究。
总之,先验验的生物合合理的经验验法则说当环境的频频率接近于于一些疾病病的自然频频率共振的的流行阈值值很重要。显显著地,它它不适合最最简单的模模型,,具具有分布式式潜指数和和传染期的的SIR和和SEIRR模型。这这种经验法法则必将被被欧拉--洛特卡卡方程复杂杂的根的研研究所取代代。一个相相似的共振振现象可能能也基本再再生数上发发生。原先先为在定期期环境下传传播的疾病病的估计的的如学校应重重新考虑。
第一个附录录包含对总人人口的生殖殖值在周期期性环境指指数增长的的证明,我们们一部分的的研究成果果和一个经经典的概括括结果。费舍尔的的人口模型型与时间无无关的系数数。第二个附附录讨论为为什么我们们使用在生生殖周期的的环境价值值的定义有有比引进的的定义有更更好的属性性。
2、摄动理理论:一阶阶公式
、作作为一个初始特特征值的增增长速度
当在流行病病模型上研研究无病稳稳态的稳定定性,第一一件事要做做的,就是是这附近的的稳态模型型线性化。由此产生生的线性系系统一般能能被改写一一个重构方方程如下形形式:
其中是关于于的非负周周期为如果果初始的系系统的系数数的周期。注注意一个列列向量,代表不同同的人感染染,而是一个个大小为的的矩阵。方方程代表受感染染的单位时时间内进入入车厢在时刻的新新人数,并并且预计感感染种类的的数量一个个人在时间间每单位时时间的产生生在时间变变成感染和和被被进入入舱室的。那那么是自感感染开始的的时间。
为简单起见见,我们将将只考虑的的情况因为为对于我们们来说这足足够作为例例子了。以以此为例,当当在时间和和自感染开开始的时间间考虑单一一的人口感感染与恢复复率并且一一个“有效的”接触率(即即该产品接接触率和每接触传传播的可能能性)。和假设都是关于tt和T-周周期函数。另另是在时间间内人口密密度和感染染年龄。在在线性近似似于无病稳稳态,是系系统
的解决方案案。另是新新感染者被被感染的速速度。那么么满足(11)
这里,是每每年在时间间新感染的的个体一直直到时间内内的概率。最初的增增长疫情利利率是一个个独立的实实数这样积积分方程
有一个非平平凡的非负负T–周期解。接接下来,也也是一个独独立的实数数这样这里里存在一个个非负非平平凡的函数数,这是T--周期与tt,满足
和归一化条条件
最后,增长长率也是一一个独立的的实数这样样一个非负负非平凡的的函数,这是T--周期与tt,满足副方方程
和归一化条条件
三重根据理理论。。。。
方程被叫做做“在时间tt内个人年年龄(自感感染)x的的生殖值“。注意,在在人口模型型上,将成为成为为生育率是是死亡率。截至到不同的正常化,方程为与费舍尔的周期系数模型的推广定义的模型与时间无关的生殖值系数。注意与生殖价值观念的联系。
根据目前的的定义,可以看出出总人口的的生育价值值满足2,,定义为
等于。这是是我们使用用在生殖周周期的环境境价值的定定义
、对对于系统22增长率的的一阶微扰扰公式
首先,我们们考虑当的的情况,和和两个方程程关于循环环的。我们们重新写55的第一个个方程,其其中是线性微分分算子作用用在周期为为T的函数数满足5的的第二个方方程的约束束。那么和和。让是和有关的的三重。线线性算子的的微扰理论论告诉我们们和有关的的主要特征征值是这样样的,其中中
注意,如果果那么。
同样的,。。。。。。。。。

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