[数学]3-4万州新田中学-数列求和.ppt

3．数列求和的常见方法有：
(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘
3．数列求和的常见方法有：
(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(4)倒序相加：例如：等差数列前n项和公式的推导方法．
(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
●易错知识
一、利用公式求和不注意项数易出错
1．S＝1＋2＋22＋23＋…＋2n＝________.
答案：2n＋1－1
二、不注意分类易出错
2．S＝a＋2a2＋3a3＋…nan(a∈R)＝________.
答案：A
答案：B
答案：D
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将所求和合并．
思路探究：(1)根据Sn与an的关系求an.
(2)把相邻两项结合后再求和．
求下列数列的和．
Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．
解题提示：分n为奇数、偶数两种情况讨论．
解析：方法一：当n为奇数时，
裂项相消法中，“裂项”是手段，“相消”是目的，所以应将每一项都“分裂”成两项之差，或“裂”成一个常数因子与两项差的积，例如分子为某一常数，分母是由等差数列的相邻项乘积形成的分数数列其求和一般选用裂项相消法．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项a1＝1，b1＝2，b2＝2＋d，b3＝4＋2d，
∵{bn}为等比数列，
∴b＝b1b3，即(2＋d)2＝2(4＋2d)，解得d＝±2.
又∵an＋1>an，即数列{an}为单调递增数列，
∴d＝2，a2＝3，a3＝5.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
b1＝2，b2＝4，q＝2，∴bn＝b1qn－1＝2n.
∴an＝2n－1，bn＝2n.
点评：使用裂项相消法，要注意正负相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列{an}中每一项an均分裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．实质上，正负项相消是此法的根源和目的．
错位相减法主要适用于求由一个等差数列和一个等比数列相应项的乘积所构的数列的前n项和．作法是先将和的形式写出，再把式子两边同乘以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn”为同类项进行合并，得到一个可求和的数列，注意合并后有两项不能构成等比数列中的项．
解析：(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2.
故{an}的通项公式为an＝4n－2，即{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列．
点评：错位相减法实质上是将数列转化为特殊的等比数列来求和，若数列的每一项都可视为两部分组成，第一个因数部分组成等差数列，第二个因数部分组成等比数列，则可用此法．
(衡中精题)已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1,2a7,3a4，成等差数列．
(1)证明：12S3，S6，S12－S6成等比数列；
(2)求和Tn＝a1＋2a4＋3a7＋…＋na3n－2.
解析：(1)证明：由a1,2a7,3a4成等差数列，
得4a7＝a1＋3a4，即4aq6＝a＋3aq3.
(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在近几年高考中经常考查.
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法．也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
答案：D
1．在直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式推导过程中蕴含的数学思想．
2．注意观察数列的特点和规律，将一般数列求和转化为基本数列求和．
3．方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在本节内容中得到了广泛