清华微积分高等数学第六讲导数与微分二.ppt

2017-4-18 1作业 6(3) (6) (9) (11) (14) (17). 9(4) (8) (15) (21). 10(8). 11(2). 12(2). P67****题 2017-4-18 2二、高阶导数第六讲导数与微分(二) 一、导数与微分的运算法则 2017-4-18 3 一、导数与微分的运算法则 1. 四则运算求导法则则可导在设函数,)( ),(xxvxu且可导在函数,)()()1(xxvxu?)()(])()([xvxuxvxu ??????且为常数可导在函数),()()2(CxxuC)(])([xuCxuC ??? 2017-4-18 4 且可导在函数, )]()([)3(xxvxu?)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu ????????且可导在函数,)( )()4(xxv xu 2 )]([ )()()()(])( )([xv xvxuxvxuxv xu ???????)0)((?xv 2017-4-18 5 )()(xvxuy??设)()()()(xxvxuxxvxxu????????vxuxxvu????????)()( )()()()(xvxuxxvxu????[证] (3) x vxuxxvx ux y????????????)()()()()()( ])()([ lim lim 0 0xvxuxvxu x vxuxxvx ux yy x x????????????????????????可导必连续)()()()(xvxuxxvxxuy????????? 2017-4-18 6 的导数求函数例2 sin ln cos 24 ]7[ 35?????xxxxyx xxx 1 sin 2 12 5 2 4????[解] )2 (sin ) (ln ) (cos 2)(4)( 3 5 ??????????xxxx )2 sin ln cos 24( 35???????xxxxy 2017-4-18 7 ) cos sin () (tan ???x xxx xxxx 2 cos ) (cos sin cos ) (sin ??????. sec cos 1 cos ) sin ( sin cos cos 2 2 2xx x xxxx???????的导数求函数例xxf tan )(]8[?[解]x xx 2 2 cos 1 sec ) (tan ??? 2017-4-18 8 2、复合函数导数公式(1)复合函数微分法(链式法则) 且也可导在点则复合函数可导在点函数可导在点设函数, )]([ , )(,)(xxgfy x xgu uufy??? dx du du dy dx dy??或)( )]([ )]([xgxgf dx xg df???? 2017-4-18 9 [证] x y x???0 lim ?????????????????????????x uu yx uu y x u x??????????? 0 0 0 lim lim lim dx du du dy??)( ))((xgxgf ???0,0??xx??时当不能保证中间变量的增量)()(xgxxgu?????总不等于零上面的证法有没有问题? 2017-4-18 10 [证] ??可导)(ufy???????)(ufu y)0 lim ( 0????u)( lim 0ufu y u??????上式化为时当,0?u?)1( )(uuufy?????????0)()(,0?????ufuufyu???时当(1) 式仍然成立! x ux uufx y?????????????)(