中考数学二次函数动点问题-因动点产生的平行四边形问题.doc

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因动点产生的平行四边形问题
例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕求tan∠ABO 图3
在Rt△APE中，，所以．　
当PQ//AB时，，即．解得．所以点Q的运动速度为．
〔3〕以C为原点建立直角坐标系．
如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．
如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．
直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为〔，t〕．经验证，点M〔，t〕在直线EF上．
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．
图4 图5 图6
考点伸展
第〔3〕题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：
当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．
设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，
得 解得a＝0，b＝－2，c＝6．
所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．
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例3 2012年烟台市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
〔1〕直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
〔2〕过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
〔3〕在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内〔包括边界〕存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。
思路点拨
1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD． 2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．
3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．
总分值解答
〔1〕A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，
代入点C(3, 0)，可得a＝－1．
所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．
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〔2〕因为PE//BC，所以．因此．
所以点E的横坐标为．
将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．
所以点G的纵坐标为．于是得到．
因此．
所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．
〔3〕或．
考点伸展
第〔3〕题的解题思路是这样的：
因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．[来#@&源^:中教网~]
再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．
，，，．
如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．整理，得．解得，〔舍去〕．如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．
整理，得．．所以，〔舍去〕．
图2 图3
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例4 2011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy〔如图1〕，一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数
y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．
〔1〕求线段AM的长；
〔2〕求这个二次函数的解析式；
〔3〕如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上