中考数学二次函数动点问题-因动点产生的平行四边形问题.doc

因动点产生的平行四边形问题
例1 2013年市松江区中考模拟第24题
如图1,抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕求tan∠ABO的值;
〔3〕过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,假设四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
图1
动感体验
请翻开几何画板文件名"13松江24〞,拖动点N在直线AB上运动,可以体验到,以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个,符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个.
请翻开超级画板文件名"13松江24〞,拖动点N在直线AB上运动,可以体验到,MN有4次时机等于3,这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个,而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个.
思路点拨
〔2〕题求∠ABO的正切值,要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形.
〔3〕题解方程MN=yM-yN=BC,并且检验x的值是否在对称轴左侧.
总分值解答
〔1〕将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得,c=1.
所以抛物线的解析式是.
〔2〕在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.
如图2,过点A作AH⊥OB,△AOH中,OA=1,,
所以. 图2
所以,.
在Rt△ABH中,.
〔3〕直线AB的解析式为.
设点M的坐标为,点N的坐标为,
那么.
当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.
解方程-x2+4x=3,得x=1或x=3.
因为x=3在对称轴的右侧〔如图4〕,所以符合题意的点M的坐标为〔如图3〕.
图3 图4
考点伸展
第〔3〕题如果改为:点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
那么求点M的坐标要考虑两种情况:MN=yM-yN或MN=yN-yM.
由yN-yM=4x-x2,解方程x2-4x=3,得〔如图5〕.
所以符合题意的点M有4个:,,,.
图5
例2 2012年市中考第21题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开场沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开场沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停顿运动,设运动的时间为t秒〔t≥0〕.
〔1〕直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;
〔2〕是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?假设存在,求出t的值;假设不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度〔匀速运动〕,使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;〔3〕如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.
图1 图2
动感体验
请翻开几何画板文件名"1221〞,拖动左图中的点P运动,可以体验到,,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.
请翻开超级画板文件名"1221〞,拖动点Q向上运动,可以体验到, ,,可以体验到,当PQ//AB时,,Q的速度变成1.
思路点拨
,点P在∠ABC的平分线上,PQ//,再根据PQ//AB,对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度.
,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点M的路径.
总分值解答
〔1〕QB=8-2t,PD=.
〔2〕如图3,作∠ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.
过点P作PE⊥AB,垂足为E,那么BE=BC=8.
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10. 图3
在Rt△APE中,,所以.
当PQ//AB时,,.
〔3〕以C为原点建立直角坐标系.
如图4,当t=0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0).
如图5,当t=4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4).
直线EF的解析式是y=-2x+6.
如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为〔,t〕.经历证,点M〔,t〕在直线EF上.
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF=.
图4 图5 图6
考点伸展