抛物线与几何图形.doc

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抛物线与几何图形
一、抛物线与三角形 例1AABC中，/A, /B, /C的对边分别为a, b, c,抛物线y^x2 —2ax+b2交x轴于两点 M , N，交y轴于点P,其中M的坐标是(a+c, 0). (1)求证：△ ABC是直角三角形.(2)若Smnp=3圧nop,①求 cosC的值；②判断△ ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND( D为抛物线的顶点)是等腰直角三角形？ 如能，请求出这组值；如不能，请说明理由•
析：(1)因为抛物线y=x2— 2ax+b2经过点M(a+c, 0),所以(a+c)2— 2a(a+c)+b2=0,即卩a2= b2+c .由勾股定理的逆定 理，得△ ABC为直角三角形•
a亠c
(2)①如图 1 所示，T S^mnp= 3&nop,二 MN = 3ON,即 MO = 40N,又 M(a+c, 0),二 N ,0 ,
14丿
••• a+c, a c是方程 x2 — 2ax+b2—0 的两根, .a2 _b2
4 2
a+c 3 4 b 4
二 a+c+ —2a,「. c—一 (1)知：在△ ABC 中，/ A— 90° 由勾股定理得 b—— a,「.cosC————.
4 5 5 a 5
②(1)知 y—x2—2ax+b2—x2— 2ax+a2—c2— (x— a)2—c2,「.顶点 D(a,— c2).过 d 作 DE 丄x轴于点 E,
1
则 NE— EM, DN— DM,要使△ MND 为等腰直角三角形，只须 ED—— MN —EM. v M(a+c, 0), D(a,— c2),
4
b= — a,
5
b-「•当 a- 5 ,b-里,c-1
3 3 3
2
・ DE —c2, EM —c,・ c2— c,又 c>0,・ c—1. vc— -a
5
时，△ MND为等腰直角三角形.
y
道探索题，是近年来中考命题的热点冋 们的确有较高的能力要求，
势下的优秀压轴题.
2如图2抛
点，其中C点的横坐标为2. (1)
y轴的平行线交抛物线于
说明本题
证明，这对 总之这是一道
、抛物线与平行四边形
物线交于A
上的一个动点，过
在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四，
件的F点坐标；如果不存在，请说明理由. 图2
析(1)令y—0,解得X1— — 1,或x2 —3,所以A( —1, 0), B(3, 0);将C点的横坐标x— 2代入y—x2— 2x— 3得y ——3,所以C(2,— 3)所以直线AC的函数解析式是y —— x—1.
(2)设P点的横坐标为x(—1<x<2),则P、E的坐标分别为：P(x,— x— 1), E(x, x2—2x—3).因为P点在E点的
题，在第((2)小题中要求同学们先猜想可能
仑前可以自己先画几个草图，做到心中有数再
E
—2x— x轴交「A、B两点(
、B两点的坐