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有限法的基础知识
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有限元的基础理论




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基础知识——
在科学研究和工程实践中，常常需要确定某一函数的极大值和极小值，这类计算已为大家所熟悉。但是，实际中常常需要确定另一类特殊的量（即所谓泛函）的极大值和极小值问题，这就是变分法要处理的问题。
举例：最速降线问题。
通俗的讲泛函就是函数的函数，是变量与函数的关系。
变分问题就是泛函求极值的问题。
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工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出的，一般地表示为未知函数u应满足微分方程组
域 可以是体积域、面积域等 。同时未知函数u还应满足边界条件， 是域 的边界。
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由于微分方程组在域内中的每一点都必须为零，因此就有
是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。其中*式是与微分方程组完全等效的积分形式。可以证明，若积分方程*对于任意的 都成立，则微分方程必然在域内任意一点都满足。
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同理，假如边界条件也同时在边界上每一点都得到满足，则对于任一组函数，下式应当成立。
上式即为原微分方程的等效积分形式。
问题是有限元法不是在整个求解域上假设近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数。
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等效积分的“弱”形式
通过适当提高对任意函数 的连续性要求，以降低对微分方程场函数的u的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。
从形式上看“弱”形式对函数u的连续性降低了，但对实际物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，原因在于微分方程往往对解提出了过分平滑的要求。
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（ WRM --Weighted residual method ）
加权余量法：指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。
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里兹方法
里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的性质，那么它不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近似求解方法。
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（平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式）
变形体的虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。
虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。
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