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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
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.理解命题的概念.
. 了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的 相互关系.
.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
回扣♦主干知取、 机教材扫除认知盲点博考点巩固必备知谭
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.命题的概念
用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫
做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关圣

(1)若p? q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若p? q,则p与q互为充要条件.
(3)若p? / q,且q? / p,贝U p是q的既不充分也不必要条件.
। ?问题思考
一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？
提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件， 又否定该命题的结论，而这个 命题的否定仅是否定它的结论.
“ p是q的充分不必要条件”与“ p的一个充分不必要条件是 q”两者的说法相同 吗？
提示：两者说法不相同. “ p的一个充分不必要条件是 q”等价于“q是p的充分不必
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要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的.
件4小阂0"为—
. (2013 福建高考)已知集合 A = {1 , a}, B= {1,2,3},则 “a=3” 是 “A? B” 的( )
A .充分而不必要条件

解析：选A 当a=3时，A={1,3} , A? B;反之，当A? B时，a=2或3,所以“a = 3”是“A? B”的充分而不必要条件.
.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A, “若 xv y,则 x2〈y2" B."若 x>y,则 x2>y2”
C. “若 xy,则 x2>y2"
解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题 “若x2>y2,则x>y”
的逆否命题是“若xwv,则x2wy2” .
.(教材****题改编)命题“如果b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c= 0(aw0)有两个不相等 的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2+bx+c=0(aw0) 有两个不相等的实根，则 b2-4ac>0”，为真命题，则它的否命题也为真.
.命题“若f(x)是奇函数，则f( —x)是奇函数”的否命题是 ( )
A .若f(x)是偶函数，则f(—x)是偶函数
(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
(—x)是奇函数，则f(x)是奇函数
(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故 “若f(x)是奇函数，则f(—
x)是奇函数”的否命题是B选项.
.下面四个条件中，使 a>b成立的充分而不必要的条件是 ( )
A. a>b+1 B. a>b-1 C. a2>b2 D, a3>b3
研考向认知层层递逸折典翘能力步步提高
解析：选A 由a> b+1,且b+ 1 >b,得a>b;反之不成立
考点一
四种命题的关系
突破,热点题型
T I d r-L A. AJ Tr VF tr
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［例1］ ⑴命题“若x>1,则x>0”的否命题是( )
x>1,则 xw 0
xw 1,则 x> 0
xw 1,则 xw 0
xv 1,则 xv 0
(2)命题“若x, y都是偶数，则x + y也是偶数”的逆否命题是 ( )
+y是偶数，则x与y不都是偶数
+ y是偶数，则x与y都不是偶数
+ y不是偶数，则x与y不都是偶数
+y不是偶数，则x与y都不是偶数
［自主解答］(1)因为“x>1”的否定为 "1"， “x>0”的否定为 "0"，所以命 题“若x>1,则x> 0”的否命题为：“若xW1,则xW0” .
(2)由于“x, y都是偶数”的否定表达是“x, y不都是偶数 : “x+y是偶数”的否定 表达是“x+y不是偶数”，故原命题的逆否命题为 “若x+y不是偶数，则x与y不都是偶 数”