《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.doc

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: .
一、填空题(每小题 3分，共15分)
, B仅发生一个的概率为 ，且P( A) • P(B) = ，则 代B至少有一个不发 生的概率为 .
答案：

解：
P(AB AB) =
即
二 P(AB) P(AB) =P(A) -P(AB) P(B) -P(AB) =-2P(AB)
所以
P(AB) =
P(A B) = P(AB) = 1 - P(AB) = .
，且 P(X 叮)=4P(X =2)，贝U P(X =3)=
答案：
1」 e
6
解答：
-2
P(X 乞 1) =P(X =0) P(X =1) =e- P(X =2) e_，
2
由 F
即 2
>(X 空 1) =4P(X =2) 知 e—' -2*e—'
■2 _，_1= 0 解得，=1，故
1 _!
P(X =3) e
6
(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X2在区间(0,4)内的概率
密度为
答案：
fY(y) =
” 1 L ~纭,0 v y < 4,
fY (y) = fy (y)= —尸 fX (J7)= <4Vy G 0 ,其它.
解答：
设丫的分布函数为Fy (y), X的分布函数为Fx(x)，密度为fx(x)则
Fy (y)二 p(丫乞 y)二 P(X2 乞 y)二 P(-G X「G 二 FxG y)- Fx(- y)
因为 X ~U(0, 2)，所以 Fx(-，?)=0，即 Fy(v^FxC, y)
故
fY(y) = Fy‘(y) = ^^ fx(&) =〈4/7’ 巫 [0,
0 ■ y ： 4,
其它.
另解
所以
在(0,2)上函数y=x2严格单调，反函数为h(y)「y
fY(yr fx(J)」“市「八4,
2商 0 ,其它.
x,Y相互独立，且均服从参数为 ，的指数分布， P(x 1) -e2，则
丸= ，P{min( X,Y)兰 1} =
答案：■ =2，P{mi n( X,Y)空 1} =1 — e-4
解答:
P(X 1)=1—P(X 乞1) = e£；=e，，故’=2
P{min( X,Y)乞 1} =1 — P{min( X,Y) . 1}
=1 _P(X . 1)P(Y . 1)
=1—
f(x)衬+1用
0,
0 ：： x ： 1, 其它

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X1 ,X2,…，Xn是来自X的样本，则未知参数 0的极大似然估计量为
答案:
♦in
Xi
解答: 似然函数为
n
L(X1 , H|Xn门)：| 丨 L 1)X4(^ - 1)n(X1 ^l,Xn)"
i d
n
lnL 二 nlnL 1) 八 ln Xj
i J
n
+X ln x LI 0
id
解似然方程得二的极大似然估计为
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1
n 1.
1 n , In Xj
n i 4
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、单项选择题(每小题 3分，共15分)
1 •设A,B,C为三个事件，且 A, B相互独立，则以下结论中不正确的是
(A) 若P(C) = 1，则AC与BC也独立.
(B) 若P(C) =1，则AUC与B也独立•
(C) 若P(C) =0，贝U AUC与B也独立•
(D) 若C B，则A与C也独立. ()
答案：(D)
A), ( B), (C)
解答：因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以(
都是正确的，只能选(
事实上由图
可见A与C不独立.
2 •设随机变量 X~N(0,1), X的分布函数为G(x)，则P(|X | ■ 2)的值为
(A) 2[1-：：」(2)].
(C) 2 -：：」(2).
(B) 2 ：」(2) -1.
(D) 1-2门(2). ()
答案：(A)
解答： X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) =1 —P(| X 匡 2) =1 - P(—2 ：：： X 乞 2)
=1 一门(2)：：」(一2) =1 -[2门(2) -1] =2[1-门(2)] 应选(A).
X和Y不相关，则下列结论中正确的是
(A) X 与 Y 独立• ( B)