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一、集合
第一节 预备知识
第一章 函数及其基本性质
二、实数集
三、绝对值
四、区间与邻域
“集合”是现代数学中的一个重要的基本概念。集合是指具有某种特定性质的事物的全体。组成这一集合的事物称为该集合的元素。
一、集合
例1．所有皮制火炬牌篮球构成一个集合，则每一只皮制的火炬牌篮球都是该集合的元素。
例2．所有正整数的全体构成一个集合，则每一个正整数都是该集合的元素。
通常，我们用英文大写字母如A、B、X、Y等表示集合，用英文小写字母如 、b、x、y等表示集合中的元素。如果 为集合A中的元素，则记作 ，读作 属于A或 在A中；如果 不是集合A中的元素，则记为 ，读作 不属于A或 不在A中。
如果集合中所包含的元素的个数只有有限个，则称这种集合为有限集。
如果集合中所包含的元素的个数有无限个，则称这种集合为无限集。
不包含任何元素的集合称为空集，记为 。
例4．设 ，则A中的任一元素都是B中的一个元素， 。
定义2 设集合A、B，若 且 ，则称集合A与B相等。记作A=B。
例3． 为空集。
定义1 设有集合A、B，如果集合A中的每一元素都是集合B中的元素，即 ，必有 ，则称集合A为B的子集。记为 ，或 ，读作A包含于B，或B包含A。
例5．设 ，则A=B。
二、实数集
正整数集
整数集
有理数集
如果用十进制来表示有理数，则有理数可表示成有限或无限循环的小数。一个数为有理数当且仅当可以表示成分数。
如果一个数用十进制表示时，都不是有限的或无限循环的，这种无限不循环小数称之为无理数。
例如：
这种无限不循环小数都是无理数。
通常把具有原点、方向和长度单位的直线称为数轴。有理数在数轴上对应的点称作有理点；无理数在数轴上对应的点称作无理点。有理数和无理数的全体称为实数集，记为 。实数集充满整个数轴。
三、绝对值
定义3 任何实数 的绝对值，记为 ，定义为
的绝对值 表示为数轴上点 到原点之间的距离。实数绝对值具有如下性质：
(1)
当且仅当 时，有
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
四、区间与邻域
区间与邻域是微积分中常用的实数集，其中区间按不同的名称记号和定义可分为如下九种形式：
闭区间
开区间
半开区间
无限区间
其中 ， 为给定的实数，分别称为区间的左端点和右端点。 读作为“正无穷大”， 读作为“负无穷大”，它们不表示任何数，仅仅是作为记号。