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算法及其推广
EM算法是一种迭代算法，1977年由Dempster 等人总结提出，用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成：E步，求期望；M步，求极大。所以这一算法称为期望极大算法（Expectation Maximization）,简称EM算法。
极大似然估计
极大似然估计是概率论在统计学中的应用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次实验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。
极大似然估计
似然函数：
已知样本集X,X是通过概率密度p(x|θ)抽取。样本集X中各个样本的联合概率：
为了便于分析，由于L(θ)是连乘的，还可以定义对数似然函数，将其变成连加的：
极大似然估计
求极值可以转换为以下方程：
θ的极大似然估计量表示为：
EM算法的引入
EM算法
EM算法的导出
EM算法在非监督学****中的应用
EM算法的收敛性
EM算法
（三硬币模型）假设有3枚硬币，分别记作A, B, C. 这些硬币正面出现的概率分别是π, p, q. 进行如下掷硬币试验：先掷硬币A，根据其结果选出硬币B或硬币C，正面选硬币B，反面选硬币C；然后掷选出的硬币，掷硬币的结果，出现正面记作1，出现反面记作0；独立地重复n次试验（这里，n=10），观测结果如下：
1,1,0,1,0,0,1,0,1,1
假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测掷硬币的过程。问如何估计三硬币正面出现的概率，即三硬币模型的参数。
解 三硬币模型可以写作
y: 观测变量，表示一次试验观测的结果是1或0
z: 隐变量，表示未观测到的掷硬币A的结果
θ：θ=(π,p,q)是模型参数
将观测数据表示为Y=(Y1,Y2,…,Yn)T,未观测数据表示为Z=(Z1,Z2,…,Zn)T,则观测数据的似然函数为

即
考虑求模型参数θ=(π,p,q)的极大似然估计，即
EM算法首先选取参数的初值，记作
，然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计值，直至收敛为止。第i次迭代参数的估计值为 。EM算法的第i+1次迭代如下
E步：计算在模型参数 下观测数据yj 来自掷硬币B的概率
那么观测数据yj 来自硬币C的概率为1-μ(i+1)