第四章，第四节 可测函数的收敛性（续）.ppt

第四节可测函数的收敛性(续)
第四章可测函数
各种收敛定义
依测度收敛:
去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛
几乎一致收敛:
去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛
几乎处处收敛:
几乎处处收敛与几乎一致收敛(叶果洛夫定理)
引理:设mE<+∞,fn ,f在E上几乎处处有限且可测,
设mE<+∞,fn ,f在E上几乎处处有限且可测,
(Lebesgue定理)
设mE<+∞,fn ,f在E上几乎处处有限且可测,
叶果洛夫定理的证明
引理:mE<+∞
对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明
Lebesgue定理的证明
叶果洛夫定理的证明
Lebesgue定理的证明
叶果洛夫定理的证明
引理:mE<+∞
下证明由(3)推出(2)
对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明
Lebesgue定理的证明
叶果洛夫定理的证明
引理:mE<+∞
下证明由(4)推出(3)
对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明
注:叶果洛夫定理的逆定理成立
注:,无论mE<+∞或mE=+∞,
几乎一致收敛:
去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛
几乎处处收敛:
去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛
另外显然 fn(x) 在上点点收敛于f(x)
所以 fn(x) (x)
证明:由条件知,存在可测集
使且 fn(x) 在 En上一致收敛于f(x) ,当然fn(x) 在En 上点点收敛于f(x)
叶果洛夫定理的逆定理
注: <+∞不可少
不几乎一致收敛:去掉任意小(适当小)测度集,在留下的集合上任不一致收敛
几乎一致收敛:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛
n
例在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,但fn不几乎一致收敛于f于R+