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第4章 杆件的应力、强度和刚度
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截面的几何性质
轴向拉伸和压缩
杆件的剪切和扭转
梁的弯曲应力及强度计算
杆件的组合变形 本章内容
教学要求:了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯性半径等几何性质的概念及计算方法;熟悉内力、应力、应变等基本概念;了解材料在轴向拉、压时的力学性能;掌握虎克定律及其应用;熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理;掌握杆件轴向拉压、扭转、剪切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算;重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。
平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素,杆件的应力和变形不仅与杆件的内力有关,而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、极惯性矩和抗扭截面模量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题,但它是计算杆件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。
一、静矩和形心
1. 静矩
,一任意形状的平面图形,面积为A,在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系zoy,在坐标(z,y)处取微面积dA,则微面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA对z轴(或对y轴)的静矩,记作dSz(或dSy)。即
截面的几何性质
平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的静矩之和,称为平面图形对z轴(或对y轴)的静矩,用Sz(或Sy)表示,即
(4-1a)
(4-1b)
从静矩的定义可以看出,静矩是对特定的坐标轴而言的。选择不同的坐标轴,静矩也不同。静矩的数值可能为正,可能为负,也可能等于零。静矩常用的单位是m3或mm3。
若则
截面的几何性质
2. 形心
现设平面图形的形心C的坐标为(Zc,Yc)。
均质等厚薄板的形心在板平面zoy中的坐标为
(4-2a)
(4-2b)
则
由上述可知:平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零;反之,若平面图形对某轴的静矩为零,则此轴必过形心。
若平面图形有一个对称轴,则形心在此对称轴上;若平面图形有两个或以上的对称轴,则形心在对称轴的交点上。
【】,以矩形的形心为原点建立坐标系zoy,z1通过矩形的底边。试求该矩形对z轴的静矩和对z1轴的静矩。
矩形截面
截面的几何性质
解: (1) 计算矩形截面对z轴的静矩。由于z轴是矩形截面的对称轴,通过截面形心,所以矩形对z轴的静矩等于零,即。
(2) 计算矩形截面对Z1轴的静矩。
【】,长度单位为cm。
组合截面
解: 取坐标zoy,因为y为截面的对称轴,所以形心必在y轴上, 即。故只需确定yc。
该截面可视为由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ组合而成。
矩形Ⅰ的面积,形心纵坐标。
矩形Ⅱ的面积,形心纵坐标。
一、惯性矩、惯性积和惯性半径
1. 惯性矩
惯性矩
,在图形所在平面内任意取一个平面坐标系zoy。微面积dA与坐标y(或坐标z)平方的乘积y2dA或(Z2dA)称为微面积dA对z轴(或对y轴)的惯性矩。整个平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的惯性矩之和,称为平面图形对z轴(或对y轴)的惯性矩,用Iz(或Iy)表示,即
截面的几何性质
用积分精确表示为
(4-3a)
(4-3b)
微面积dA与坐标原点O的距离ρ的平方的乘积ρ2dA称为微面积dA对坐标原点O的极惯性矩,整个图形对坐标原点O的极惯性矩用积分表达为
所以
由于存在几何关系:
即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。
由惯性矩的定义可知,惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也不同。极惯性矩是对点而言的,同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式(4-5)中,z2和y2恒为正值,故惯性矩也恒为正值,惯性矩常用的单位是m4或mm4。简单图形的惯性矩可以直接由式(4-5)计算。在建筑工程中,常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到,型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。
2. 惯性积
,微面积dA与坐标y和坐标z的乘积zydA称为微面积dA对y和z两轴的惯性积,记为zydA。整个图形上所有的微面积对z和y两轴的惯性积之和称为该图形对z和y轴的惯性积,用表示Izy,即
截面的几何性质
(4-4)
(4-5)
(4-6)
惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的,同一图形对不同的正交坐标轴,其惯性积不同。由于x、y有正有负,因此惯性积也可能有正有负,也可能为零。惯性积的常用单位是m4或mm4。
,微面积dA与坐标y和坐标z的乘积yzd