亥姆霍兹.pdf

第11章 分离变量法
1. 补充：三角函数的正交性
l mxπ nxπ
(1) Id==cos cosx ? (mnmn≠ 及=)
∫0 ll
1
备忘： cosα cosβαβαβ=++− [cos( ) cos( )]
2
1()l mn+ π x () mn− π x
I =+[cos cos ]dx
2 ∫0 ll
12l nlπ
m=n时： Ix= (cos+= 1)dx
22∫0 l
1
≠ nm 时
1()l mn+−ππ x () mn x
Id=+[cos cos ] x
2 ∫0 ll
1()()lmnxlmnx+−
=+[sin sin]l
2(mn+− ) ππ lππ( mn ) l 0
= 0
l mxπ nxπ l
∴ cos cos dx = δ
∫0 ll2 mn,
2
l mxπ nxπ
Id==sin sinx ?
(2) ∫0 ll
1
sinα sinβαβαβ=− [cos( + ) − cos( − )]
2
1()()l mn+ π x mn− π x
Id=− [cos −cos ] x
2 ∫0 ll
m=n:
l mxπ l
Id= sin2 x=
∫0 l 2
mn≠ :
1()()lππ mnx+−ππ l mnx
I =− [sin − sin]l
2(mn+− ) l( mn ) l 0

= 0
l mxπ nxπ l
∴ sin sin dx = δ
∫0 ll2 mn,
3
∞ nxπ
ϕ()xc= sin
(3) 若 ∑ n ，求 cn =?
ϕ n=1 l
mxπ
两边乘以 sin l 后，对 x 由 0 到 l 积分
llmxπ ∞ mxππ nx
(xdxc )sin = n sin sin dx
∫∫00∑
llln=1
∞
llδ
==∑ccnmnm,
n=1 22

2 l mxπ
∴ cxdxm==ϕ()sin (