2021年11第11讲导数概念.ppt

第二章 一元函数的导数与微分
本章学****要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程
求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微
分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰
勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方
程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
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作业 1----9.
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第一节 导数的概念
第二章 一元函数的导数与微分



四. 函数的增量与导数的关系
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1. 物理背景
2. 几何背景
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在真空中, 当时间由t 变到t+t 时, 自由
非匀速运动物体的速度问题
落体所经过的路程为
例1
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
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求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是
令 t0 的极限过程：
从物理学看, 当t0 时, 应该有
这是否也说明了一个什么问题?
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P
l
l
力学中的线密度问题
设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.
直线的一端为原点 , 线段 OP 的长度为 l, 质量为 m,
则 m 是 l 的函数：m = f (l ). 求点 P 处的线密度  .
例2
O
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给 l 一个增量 l, 则 l 这一段 ( PP' ) 的平均密度是
而在 P 点处的线密度就是 l  0 平均密度的极限：
比较两个极限式：
与
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平面曲线上切线的概念
割线PQ
切线PT
切点
2. 数学背景 — 平面曲线的切线问题
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沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.
平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上
点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+x, y0+ y)
定义
切线方程:
其中,
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