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信号采样及零阶保持器.doc


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8-2 信号的采样和复现的数学描述
一、 采样过程
所谓理想采样,就是把一个连续信号,按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值,从而得
到一串脉冲序列信号。可见在采样瞬时,的脉冲强度等于相应瞬时的幅值,即,,,…,…如图8-8所示。因此,理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程,如图8-9所示。采样器好比是一个幅值调制器,理想脉冲序列作为幅值调制器的载波信号,的数学表达式为
(8-1)
其中0,±1,±2,…
调幅后得到的信号,即采样信号为
(8-2)
通常在控制系统中,假设当时,信号,因此
(8-3)
或 (8-4)
式(8-4)为一无穷项和式,每一项中的表示脉冲出现的时刻;而代表这一时刻的脉冲强度。
式(8-2)或(8-4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而,一个值得提出的问题是:采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看,
“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。
二、 采样信号的频谱
假设连续信号的富氏变换式为,采样后信号的富氏变换式用表示,下面我们来看的具体表达式。
由于理想脉冲序列是一个周期函数,其周期为T,因此它可以展开成指数形式的富氏级数,即
(8-5)
其中为采样角频率。
将式(8-5)的结果代入(8-2)式得
(8-6)
根据复位移定理;若,则
因此,式(8-6)的富氏变换式为
(8-7)
假定连续信号的频谱如图8-10(a)所示,则根据式(8-7)可得采样(离散)信号的频谱如图8-10(b)所示。
由图8-10,可得到如下结论:
(1)的项为,通常称为基本频谱。它正比于原连续信号的频谱。
(2) 同时派生出以为周期的,无限多个高频频谱分量,其中±1,
±2,…。h
以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可知,在一定条件下,原函数与其富氏变换式是一一对应的,亦即由富氏变换式可以唯一地还原成原函数。可以设想,如果让采样信号通过一个图8-11所示的理想滤波器,将所有派生出来的高频分量全部滤掉,而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号,只要将其幅值放大倍,就能完全重现原信号。
由图8-10不难看出,要想完全滤掉高频分量,筛选出基本频谱,从而根据采样信号来复现采样前的连续信号,采样频率必须大于或等于连续信号频谱中最高频率的两倍,即
(8-8)
这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们,只要采样频率足够高,我们完全不必担心采样过程会损失任何信息。
由图8-10也可看出,若采样频率不够高,即时,则将会出现如图8-12所示的频谱重叠现象。很明显,这时,我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开;从而,也就无法重现原信号,或者说,采样过程将损失信息。另外,需要指出的是,如图8-11所示的理想滤波器,实际上是不存在的。因此在工程上,通

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