上海交通大学硕士学位论文.doc

目录第一章引言 -2- -2- -2- -8--KdV方程组及耦合长短波方程的由来 -10-、辛算法及多辛算法 -11- -17- -17--Nicolson方法 -19-第二章多辛格式 -22- -24- -30- -35-第三章数值实验 -40- -40- -49-第四章结论 -55-参考文献 -56-致谢 -59-(Schrodingerequation)是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程,也是量子力学的一个基本假定,其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。,平面波是指在波的传递过程中在一段距离内波幅变动不大的波。描述平面波的状态的波函数为:()为波函数。x与t分别表示x方向的距离变量与时间变量。函数计算结果的物理量为波幅,即长度单位为米。A为波幅,单位为米。指平面波相对稳定的最大波幅绝对值。cos(kx--wt)为波幅的变动系数,数值在-1,0,+1之间变动。k为单位长度弧度数,即,单位为弧度/米。为单位时间弧度数,即,单位为弧度/秒。由于=波速度,=即波在传播过程中不同距离的时间差。波函数()式可以写成:()如果上述波函数()式去掉括号中的第一项,得到:()即为一个以时间为变量的振幅函数,这样的波并不向外传播,而是在原地上下振动,余弦cos的正负角的函数值是相等的,因此括号中的负号可以忽略。如果波函数()式中去掉括号中的第二项同时保留第一项,得到:()即为一个以坐标为变量的函数,是描述波到达各种位置的振动位移情况。波函数()式也可以写成以e为底的复数形式:()通用的波动方程是如下形式:()化简为一维形式的波动方程:()函数是直接描述变量之间的关系,而物理方程则是在复杂的情况下表述各种物理量的关系,它可以包含各种函数,但对函数中的变量之间关系的表述不是那么直接,函数表达式与方程之间,在一定条件下可以转换。下面给出具体的推导过程。对宏观平面波函数()式进行转换,得:()对时间二次微商得:整理得:对坐标二次微商得:整理得:将两个二次微商的结果连接得:引入波速u,将上式整理得到:这就是前面的一维形式的波动方程()式。可见波函数与波动方程在一定条件下可以相互转换。应当注意到由波函数转换为波动方程的过程中,波幅常量A消失了,说明这个波动方程中含有的波函数与波幅常量没有直接联系。如果由波动方程反解出波函数,这个常量A需经过归一化处理重新找回来。通常,参照一般的波动描述方式,似乎可以建立一个类似的电磁波的波函数表达式:然而,我们以宏观的平面波方式来描述量子波时,必须考虑到量子波与平面波的重要区别:平面波的波函数描述的是一个波群(波束),而量子波由于其量子性,表现为个体的量子波。即使一个有限的空间在一段有限的时间里,只有一个电子或者一个光子在运动,我们也得承认这个电子或者光子的波动性,应当也有波函数描述它。因此用波函数来描述量子波时,显然应当与描述光束或者电子束的方式有所区别,或者说不能用描述一般平面波的波函数的方法来描述量子波。分析光子的运动:光子在振动且以光速运动,以位置作为变量,光子的相位随之而变,换以时间作为变量,光子的相位也是随之而变。光子的波幅、一个波动周期内的速度也是在随位置和时间变动的,但是波动量的大小与相位的变动是相关的。因此首先选取相位作为一个波动周期的因变量。将原来描述光束的函数式()改为描述单个光子的波函数:()函数的值就是相位,单位为弧度。将上述描述光子相位的函数用三角函数表示:()得到的是无量纲数,数值在-1,0,1之间变动,这就是我们描述概率幅的函数。加上适当的常数项A,使得波函数有适当的物理量,将模平方并按一定的物理量积分后,得到的结果是有量纲数,即概率密度:()根据()式对电磁波的函数表达式,按照式()的通用波动方程,可以建立一个电磁波的波动方程:()方程中E表示什么呢?根据前面对一般波函数与波动方程的