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2001—2013年天津市大学数学竞赛(l理工).doc


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2013年天津市大学生数学竞赛试题参考答案及评分标准(理工类)填空题(本小题15分,每小题3分);已知则其中的常数设函数在区间上有连续的二阶导数,,a>0且在x=a处取得极大值,则积分设抛物线上一点P的横坐标为c(c>2),点Q(c,0).如图,直线和与弧围城的图形为,三角形OPQ记为,,=.设连续且,空间区则选择题(本小题15分,每小题3分)设则(A)(B)(C)(D)在点x=0处不可导.【B】,都是区间上恒大于零的可导函数,且则当时,必有(A)(B)(C)(D)【A】(A)(B)(C)0(D)2【D】 (A)(B)(C)(D)【C】,半径不相等的两个木质球体,分别在中间钻出一个以球体直径为轴的圆柱形洞,,正确的结论是 (A)A的体积等于B的体积(B)A的体积小于B的体积(C)A的体积大于B的体积(D)不能判断,A与B体积的大小与球半径有关【A】,。求极限 解法1:== ==== 解法2:===:令,(),则 == == =. (1)证明是单调增加的;(2)求. (1)证方程两端对x求导,得即因为所以是单调增加的.(2)解:由于是单调增加的,故当有上界时,(a为某常数);当无上界时. 假若,由于且广义积分收敛,令,由上式可得矛盾. 因此,只有,(1)在曲线上哪些点处的切线与平面平行,并写出对应的切向量.(2)求(1)中两条切线之间的距离.(注意两个切线之间的距离指它们的公垂线段的长度.)解:(1)由曲线的参数方程,得到已知平面的法向量由题设即解得在曲线上得到两个点在此两点处的切线与平面平行,对应的切向量分别为(2)解法1由(1)可得=(-12,0,-4)=-4(3,0,1),, =于是,(1)中两个切线之间的距离解法2:通过点作平行于已知平面的平面,其方程为显然,通过点的切线在平面上,通过点的切线平行于平面,故两切线之间的距离就是点到平面的距离,,且若证明 证明:令则且 = 再求导由题设在区间上应用微分中值定理,,因此当时,,故,,使得曲线. 解:曲线的充分必要条件是:存在使得,,那么的值域就是 令可得的唯一驻点就是x=e. 当当时,因此,为在内的最大值. 因此,曲线与直线相交的充分必要条件是,.(1)试推导的直角坐标方程;(2)如果是与平面所围成的立体,其密度为求的质量. 解:(1)设M是旋转而得,上的点对应于参数t,故 而故的方程是即(2)空间区域其中因此,的质量 =:(n为正整数), (提示:对于应用极限的夹逼准则.) 解:如图,设曲线与x轴的交点为A,与直线的交点为,,只需证明在开区间内,求由方程所确定的隐函数的导数,得由弧长计算公式=== 另一方面,又有 =().于是由极限的夹逼准则,(x)有连续导数,AB是有点到点的有向线段. 解:,选择如下积分路径:先从点沿着平行于x轴的直线到点再从点沿着平行于y轴的直线到点.===.令则因此:=其中是由两个球面与的交线,从z轴的正向看去,:由与得取为平面(上侧)被闭曲线所围成的圆的内部,=2012年天津市大学数学竞赛试题(理工类)一、填空题(共15分,每空3分),,又,,然后慢慢地使其倾斜,,且,又设平面区域,,其中为光滑的简单闭曲线,,、单项选择题(共15分,每空3分),,又设时,与是同阶无穷小,则().(A)(B)(C)(D),且满足,则有().(A)在点处不一定可导(B)在点处可导,且(C)在点处可导,且(D),在区间和上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周(如图所示),如果,那么函数非负的范围是().(A)整个(B)仅为(C)仅为(D),

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