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反函数问题分类例析.doc


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反函数问题分类例析湖南祁东育贤中学周友良421600湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉函数与其反函数是一对对立而又统一的事物。对函数的反函数的研究,不仅丰富了函数的内容本身,而且对于更好的理解事物的对立统一也具有哲学意义。在高考中,对反函数的考察是作为对函数知识考察的一个十分重要的内容,常以下列题型出现:。分析:由知y2=1-x2(-1≤y≤0),则x2=1-y2,由于-1≤x≤0,所以x(-1≤y≤0),所以反函数为。点评:由反函数的定义,求反函数的定义,一般应分以下步骤:(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y);(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置;(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域)。。分析:由y=x2,得x=-,即y=x2(x<0)的反函数为y=-(x>0);由y=(x≥0)的反函数为y=-2x(x≤0)。因此原函数的反函数为y=点评:分段函数要分段求,最后再用分段函数形式表示出来。(2x-1)=x+1,则=。分析:令x+1=2,则x=1,则2x-1=1即f(1)=2,因此=:此题是否不必有求反函数的解析式呢?由上解答看出是不必要的。充分利用反函数的性质:f(a)=b即可解决此类问题。(x)=与都过(1,2)点,则f(x)与图象交点的个数为个。分析:解方程组解得a=-3,b=7,则f(x)=。由f(x)与的图象关于直线y=x对称知f(x)与均过(2,1)点,又因为2条曲线与y=x交点也是同一点,故共有3个交点。点评:函数f(x)与的交点若为(a,b),则点(b,a)也为它们的交点;(x)=,的单调减区间是。分析:(1)设u=4-x2,=,令u>0,4-x2>0,得-2<x<2。当x∈(-2,0)时,u是增函数,而=为减函数,则是单调递减函数。即(-2,0)。(2)f(x)在定义域内为减函数,由于原函数与其反函数的图象关于y=x对称,单调性不变,则其反函数在定义域内也为减函数;因此只需考虑4-x2的增区间,由复合函数“同增异减”可得4-x2的增区间即为的减区间。解法同上。点评:(1)函数y=f(g(x)),若y=f(x)是递减的,则u=g(x)的增区间就是y=f(g(x))的减区间,u=g(x)的减区间就是y=f(g(x))的增区间;(2)互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同(对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间)。(x)=。(1)证明函数f(x)有反函数,并求出反函数。(2)反函数的图象是否经过(0,1)点?反函数的图象与y=x有无交点?(3)设反函数为y=,求不等式≤0的解集。分析:(1)欲证函数有反函数,需证函数在定义域范围内严格单调。显然,f(x)的定义域为正实数集;令0<x1<x2,f(x2)-f(x1)==>0,即f(x)在正实数集上是增函数,则f(x)有反函数,且x>0时,,即的定义域为R,则y=解得,,所以=(x∈R);(2)过程略。经过点(0,1);无交点(3)解集为空集。点评:函数有反函数

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  • 时间2020-03-26