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梯形模型及其应用.doc


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对数学模型化的一点思考笛卡尔曾经提出过这样的设想:任何问题都可化为数学问题,任何数学问题都可化为代数问题,任何代数问题都可化为方程问题,通过解方程就可解决所有的问题。笛卡尔的设想虽然没有实现,但笛卡尔的设想却给我们一种启示,是否可以对一些不同类型的问题找出一种统一的数学模型加以解决。本文所探讨的是以梯形模型来解决几种不同类型的问题。引理1:如果在梯形ABCD中,AB∥CD,AC与BD交于O点,E、F分别在AD、BC上,EF∥AB,那么EF经过O点的充要条件是AE∶ED=AB∶DC证明:⑴必要性:∵AB∥EF∥CD EF过O点∴AE∶ED=AO∶OC=AB∶CD⑵充分性:设E’、F’分别在AD、BC上,E’F’∥AB且E’F’过O点由必要性必有AE’∶E’D=AB∶DC又∵AE∶ED=AB∶DC E在AD上∴E与E’重合同理:F与F’重合∴EF过O点引理2:在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b,AC与BD交于O点,E、F分别在AD、BC上,EF∥AB,如果EF经过O点,那么点O为EF的中点且EF=证明:∵AB∥EF∥CD EF过O点∴EO∶DC=AO∶AC=BO∶BD=OF∶DC∴EO=OF∴点O为EF的中点又∵EO∶DC=AO∶AC OF∶AB=OC∶AC AB=a CD=b∴即OE=∴EF=其中也称为a与b的调和平均数。将引理中的梯形特殊化为一直角梯形ABCD(如图2),AB∥CD,AD⊥AB,E、F分别在AD、BC上,BF=AB=a,CF=CD=b(a<b),M、N分别为AD、BC的中点(由于,所以E比M更靠近A点)。此梯形还有一些独特的性质:性质1:连结MB、MC,则∠BMC=90°(如图3);由此可知,以BC为直径的圆与AD相切于点M。性质2:连结AF、DF,则∠AFD=90°(如图4);性质3:连结MF,则MF⊥BC;MB、MC分别是∠ABC、∠BCD的平分线(如图5)由性质2、3可知,以AD为直径的圆与BC相切于点F。引理所表明的性质及上述直角梯形模型有一定的应用价值。⒈证明重要不等式:例1:若 a、b∈R+,则证明:如图6构造上述直角梯形,AB=a,CD=b,由引理及性质3可知EF=,MF=,MN=根据直角三角形中直角边小于斜边可知:<<当AB=CD时,梯形退化为矩形,此时E与M、F与N重合,则EF=MF=MN∴≤≤(当且仅当a=b时取“=”号)⒉证明平面几何问题:例2:已知:如图7,在△ABC中,AD是内角平分线,AG是外角平分线,求证:证明:延长BA至C’,使AC’=AC,作AE∥DG且AE=DG,连结GE,作C’G’∥BG,C’G’交GE的延长线于G’∵AD是△ABC的内角平分线∴∴AD∥C’C∵AE∥DG且AE=DG∴四边形ADGE为平行四边形∴AD∥GG’∴CC’∥GG’∵C’G’∥BG ∴四边形C’G’GC为平行四边形∴C’G’=CG∵AG为△ABC的外角平分线∴∴由引理1、2可知AE= 即∴此例为文⑴中例题,原证法利用三角函数相关知识证明。⒊证明解析几何问题:例3:已知F为抛物线y2=2px的焦点,AB为过F的直线,A、B在抛物线上,A、B的纵坐标分别为y1、y2,求证:y1y2=-p2证明:不妨设y1>0、y2<0,分别过点A、B向准线作垂线,垂足为C、D,准线与x轴的交点为E,则yC=y1,yD=y2根据性

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  • 时间2020-03-24