中考数学压轴题.doc

2008年武汉市中考数学压轴题评析
桂文通
1试题
如图1,抛物线y=ax-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
求此抛物线的解析式;
若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F。将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求M,N的坐标.
2试题解析
(1)如图1, ∵抛物线y=ax-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点.
x
y
T
H
G
图1
∴解得
∴抛物线的解析式y=-.
(2)方法1:
如图1,由y=-得B(4,0)、D(0,2).
∴CD∥AB ∴S=(5+3)×2=8
设直线y=kx-1分别交AB、CD于点H、T,则H(,0)、T(,2).
∵直线y=kx-1平分四边形ABCD面积, ∴S=S=4.
∴(+1+)×2=4 ∴k=,∴k=时,直线y=x-1将四边形ABCD面积二等分.
方法2:
过点C作CG⊥AB与点G.
由y=-得B(4,0)、D(0,2). ∴CD∥AB
由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形, ∴
设矩形ODCH的对称中心为R,则R(,1).由矩形的中心对称性知:过R 点任一直线将它的面积平分,∴过R点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD面积平分.
当直线y=kx-1经过点R时,得1=k-1 ∴k=,
(3)方法1:
如图2,由题意知,四边形AEMN是平行四边形, ∴AN∥EM且AN=EM.
∵E(1,-1)、A(-1,0) ∴设M(m,n),则N(m-2,n+1).
∵M、N在抛物线上,∴解得
∴M(3,2),N(1,3).
方法2:
x
y
图2
如图2,由题意知△AEF≌△MNQ .
∴MQ=AF=2,NQ=EF=1,∠MQN=∠AFE=90°.
设M(m,),N(n,),
∴
解得∴M(3,2),N(1,3).
注:以上的解答是试题命题组给