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年月日理科考试研究· 数学版
反函数考点例析
张晓玲
反函数是高中数学的重要概念之一,在历数;如果函数不是整个定义域内的单调
,而在其定义域的某个子区间上是单调函
数的相关内容,本文总结了常见的考点,以便数,那么函数在这个子区间上必存在反
对同学们在复****备考中有所帮助. 函数. ‘
考点一反函数的存在条件考点二求反函数
例北京函数,—一例天津函数/十
在区间,上存在反函数的充要条件是的反函数是
一
口∈一, 一
∈, 一
口∈一, , 一
口∈,
解析由、,/ ,得
解析我们知道,二次函数一
一
.
一不是定义域内的单调函数,但在其定义
又
域的子区间一,口或,上是单调函
数. / ,
又因为:在区间,上存在反所以.
函数所以、,/ 的反
所以当, 一,口或, 口, 函数为一,故选.
。。时,即口≤或口≥时, 在点评此类题在历届高考中考查较多,其
区间,上存在反函数. 求解步骤为:①求原函数的值域,②反解,即用
故选. 把表示出来,③互换,即把与交换位置,

函数,所以函数在某一区间上存在数的值域,所以求反函数时,最好先求出原函
反函数的充要条件是该函数在这一区间上是数的值域,不应该根据求出的反函数的解析式
:如果函数是定义来确定其定义域.
域内的单调函数,那么函数必存在反函考点三考查公式口厂口
:,,, 若一,解得一,此时
,,,,,,,,,,,,,,,, ,与集合元素互异性矛盾.
,,,,.共个子集,选. 综上可知,当时, ,,一,
简解假设是的子集,即,也,.
就是集合的元素必是集合的元素. 【作者单位:河南省鄢陵县第一
若,解得,符合题设; 高中】
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理科考试研究· 数学版年月日
例湖南设函数,的图象关于奇函数,在,∞上是增函数
点,对称,且存在反函数,, 偶函数,在,∞上是增函数
,则, 解析因为在,∞上是增
解析由,可知函数的图函数,: 在,∞上是减函数,所以
象过点,.而点,关于点,的对称
二在
, 上是增函数.
点为一,.由题意知点一,也在函数厶
的图象上,一,所以易知≠为奇函数.
厶
一.
利用函数与具有
点评此题考查了公式厂口兮
相同的单凋性,奇函数的反函数也为奇函数这
厂口,同时又综合了函数图象关于点的
一性质,得答案为.
对称问题,求解时一定要注意对称关系的运用.
点评我们知道,因为奇函数的反函数是
应用公式厂口兮厂口,可以不用求
奇函数,一般的偶函数不存在反函数;在榴立
反函数,特别当原函数的反函数比较难求时,应
的区间上,增函数的反函数是增函数,减函数

,本题直接
例年上海春季若函数厂
得出答案.
.南,则丢考点六考查原函数与其反函数图象的
对称性
解令,一￡,则,￡·号, 例陕两若函数厂的反函数为
所以南专· ,则函数