初等数学研究程晓亮刘影版课后习题答案.doc

初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后****题答案
第一章数
1添加元素法和构造法,自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集,再添加负数到整数集;实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位满足,和有序实数对一起组成一个复数.
2(略)
3从数的起源至今,总共经历了五次扩充:
为了保证在自然数集中除法的封闭性,像的方程有解,这样,正分数就应运而生了,这是数的概念的第一次扩展,数就扩展为正有理数集.
公元六世纪,印度数学家开始用符号“0”,自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.
为了表示具有相反意义的量,,这是数的概念的第三次扩充,此时,数的概念就扩展为有理数集.
直到19世纪下半叶,才由皮亚诺、戴德金、,形成了实数集.
虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进,,引进虚数,形成复数集.
4证明:设集合两两没有公共元素分别是非空有限集的基数,根据定义,若,则存在非空有限集,使得;若从而必存在非空有限集,使得,所以所以集合的基数大于集合的基数,所以.
5(1)解:按照自然数序数理论加法定义,
(2)解:按照自然数序数理论乘法定义
6证明:当时,命题成立.(反证法)
7证明:当时,命题成立.()
设时命题成立.
角邮资可能是:(1)完全用3角的邮票来支付;(2)至少用一张5角的邮票来支付.
在(1)下,.
在(2)下,把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付角的邮票.
综合、,命题对于不小于8的所有自然数成立.
8证明:(1)
(2)
当时,命题成立.
假设时命题成立,,,第条直线与原条直线各有一个交点,,所以.
综合、,命题对于不小于2的所有自然数成立.
9举例:正整数集N上定义的整除关系“|”满足半序关系.
证明:(1)(自反性)任意的正整数,总有;
(2)(反对称性)如果,那么;
(3)(传递性)如果,那么.
通常意义的小于等于也构成半序关系,同理可证.
10证明:设,且
①
②若,则.
若.
令是所有不属于的自然数组成的集合,则是的非空子集,按照最小数原理,中有最小数,①知,于是存在自然数,使,这样就有,所以,但根据②有,.
11证明:(1)根据自然数减法定义有,,两式相加得:,于是,
若,则
若,则
(2)
(3)先证
事实上,由
可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.
由此,为了证明(3),只要证明,
根据(1)上式就是
于是只要证明
显然,这个等式是成立的,所以(3)成立.
12证明:(1)根据自然数除法定义有,两式相乘,得,所以有:若,则;若,则
(2),根据除法定义,(2)成立.
(3),根据除法定义,(3)成立.
13证明:.
14证明:设,下,下面证明三种关系有且仅有一个成立.
(1)先证明三个关系中至多有一个成立.
假若它们中至少有两个成立,若令同时成立,则存在,使得:
于是,与矛盾.
同理可证,任意两种关系均不能同时成立.
(2)再证明三中关系中至少有一个成立.
取定,设是使三个关系中至少有一个成立的所有的集合,当时,若,则成立;若,则存在,使得,.
假若,即三个关系中至少有一个成立.
当时,存在,使得,则,即成立.
当时,存在,使得,若,就有;
若,就有,且,使得,即成立.
综上,,从而.
15证明:,
,
16证明:因为,
且,,所以,即
17证明:因为,而有限个奇数的乘积仍是奇数,奇数个奇数的和也是奇数,因而是奇数,
于是,同理有,
两式相加:,所以.
18解:因为,所以和必为一奇一偶.
若为偶数,可验证质数,则
若为偶数,可验证质数,则
所以.
19证明:根据减法是加法的逆运算知,设是有理数,是这样一个数,,我们有
(加法结合律)

因此,这个确定的有理数,它与的和等于,

又如果差为,则有,于是,两边同加有:



即差只能是,定理得证.
20证明:做差,,.
所以有
21证明:首先证明当且仅当.
事实上,若,当时,且,即;当时,,有,且,,若,当时,;当时,.
下面来证明:.
事实上,对于显然有:


故有.
由上面的讨论知,.