2019高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示课件 理.ppt

第五章平面向量
§ 平面向量基本定理及坐标表示
高考理数
考点一平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对①(x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然0=(0,0),i=(1,0),j=(0,
知识清单
1).
(2)设 =xi+yj,则向量 的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若 =(x,y),则
A点坐标为②(x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点).
考点二平面向量的坐标运算
、减法、数乘运算

已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终
点的坐标减去④始点 的坐标.

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔⑤ x1y2-x2y1=0 .
向量
a
b
a+b
a-b
λa
坐标
(x1,y1)
(x2,y2)
(x1+x2,
y1+y2)
(x1-x2,
y1-y2)
③(λx1,λy1)
平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.
用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的运,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.
例1 (2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别
为1,1, , 与 的夹角为α,且tan α=7, 与 
的夹角为45°.若 =m +n (m,n∈R),则m+n= .
平面向量基本定理及其应用策略
方法
1
方法技巧
解题导引
解析 通解以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),由tan α=7,α∈ ,得sin α= ,cos α= ,设C(xC,yC),B(xB,
yB),则xC=| |cos α= × = ,yC=| |sin α= × = ,即C .
又cos(α+45°)= × - × =- ,sin(α+45°)= × + × =
 ,则xB=| |cos(α+45°)=- ,yB=| |·sin(α+45°)= ,即B ,由 =m
 +n ,可得 解得 所以m+n= + =3.
优解由tan α=7,α∈ ,得sin α= ,cos α= ,则cos(α+45°)= 
× - × =- , · =1× × =1, · =1× × = , · 
=1×1× =- ,由 =m +n ,得 · =m +n · ,即 =m- n
①,同理可得 · =m · +n ,即1=- m+n②,联立①②,解得
 所以m+n= + =3.
答案 3
拓展结论 平面向量数量积的运算一般有两种解法,一是利用向量数量积的坐标运算求解,二是利用向量数量积的定义和运算性质求解.
向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,它可以使向量运算完全代数化,把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来,这就使得向量成为数形结合的桥梁,成为中学数学的一个交汇点.
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘的运算法则进行的,若已知有向线段两端点的坐标,:若A(x1,y1),B(x2,y2),则有 =(x2-x1,y2-y1).
平面向量的坐标运算技巧
方法
2
例2 (2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足| |=| |=| |, ·
 = · = · =-2,动点P,M满足| |=1, = ,则| |2的最大
值是 ( B )
平面向量的坐标运算技巧
方法
2
A.  B.  C.  D.
解题导引