完全平方数和完全平方式.doc

完全平方数和完全平方式
第三十一讲完全平方数和完全平方式
设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m2,则称n是一个完全平方数(或平方数).常见的题型有:判断一个数是否是完全平方数;证明一个数不是完全平方数;:
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9,个位数字是2,3,7,8的数一定不是平方数;
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数,个位数字为6,而十位数字为偶数的数,也一定不是完全平方数;
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数;
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式;
(5)任何整数平方之后,只能是3n或3n+1的形式,从而知,形如3n+2的数绝不是平方数;任何整数平方之后只能是5n,5n+1,5n+4的形式,从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数;
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数;
(7)如果自然数n不是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是偶数;如果自然数n是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是奇数;
(8)偶数的平方一定能被4整除;奇数的平方被8除余1,且十位数字必是偶数.
例题求解
【例1】 n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:n+l是3个完全平方数之和.
思路点拨设3n+1=m2,显然3卜m,因此,m=3k+1或m=3k+2(k是正整数).
若rn=3k+1,则.

∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2.
若m=3k+2,则
∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2.
故n+1是3个完全平方数之和.
【例2】一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数.
思路点拨引入参数,利用奇偶分析求解.
设所求正整数为x,则
x+ 100=m2 ----①
x+168==n2 -----②
其中m,n 都是正整数, ②—①得n2—m2 =68,即(n—m)(n+m)=22×17.---- ③
因n—m,n+m具有相同的奇偶性,由③知n—m,n+③可得.
解得n=②得x=156,即为所求.
【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,比如16=52—32,16就是一个“智慧数”.在正整数中从1开始数起,试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由.
思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差,所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1,有2k+1=(k+1)2-k2(k=1,2,…).所以大于1的奇正整数都是“智慧数”.
对于被4整除的偶数4k,有4k=(k+1)2—(k—1)2 (k=2,3,…).即大于4的被4整除的数都是“智慧数”,而4不能表示为两个正整数平方差,所以4不是“智慧数”.
对于被4除余2的数4k+2 (k=0,1,2,3,…),设4k+2=x2—y2=(x+y)(x-y),其中x,y为正整数,当x,y奇偶性相同时,(x+y)(x-y)被4整除,而4k+2不被4整除;当x,y奇偶性相异时,(x+y)(