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初中数学竞赛专题选讲()
完全平方数和完全平方式
一、内容提要
一定义
如果一个数恰好是某个有理数的平方,那么这个数叫做完全平方数.
例如0,1,,,121都是完全平方数.
在整数集合里,完全平方数,都是整数的平方.
如果一个整式是另一个整式的平方,那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明,完全平方式是在实数范围内研究的.
例如:
在有理数范围 m2, (a+b-2)2, 4x2-12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围(a+)2, x2+2x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里,完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0,1,4,5,6,,3,7,8的整数必不是平方数.
2. 若n是完全平方数,且能被质数p整除, 则它也能被p2整除..
若整数m能被q整除,但不能被q2整除, 则m不是完全平方数.
例如:3402能被2整除,但不能被4整除,所以3402不是完全平方数.
又如:444能被3整除,但不能被9整除,所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式,则b2-4ac=0且a>0;
如果 b2-4ac=0且a>0;则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b2-4ac=0且a是有理数的平方时,ax2+bx+c是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式(ax+b)2 中
当a, b都是有理数时, x取任何有理数,其值都是完全平方数;
当a, b中有一个无理数时,则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
某些代数式虽不是完全平方式,但当字母取特殊值时,其值可能是完全平方数.
例如: n2+9, 当n=4时,其值是完全平方数.
所以,完全平方式和完全平方数,既有联系又有区别.
五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中
若b2-4ac是完全平方数,则方程有有理数根;
若方程有有理数根,则b2-4ac是完全平方数.
在整系数方程x2+px+q=0中
若p2-4q是整数的平方,则方程有两个整数根;
若方程有两个整数根,则p2-4q是整数的平方.
二、例题
例1. 求证:五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明:设五个连续整数为m-2, m-1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S=(m-2)2+(m-1)2+m2+(m+1)2+(m+2)2
=5(m2+2).
∵m2的个位数只能是0,1,4,5,6,9
∴m2+2的个位数只能是2,3,6,7,8,1
∴m2+2不能被5整除.
而5(m2+2)能被5整除,
即S能被5整除,但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例2 m取什么实数时,(m-1)x2+2mx+3m-2 是完全平方式?
解:根据在实数范围内完全平方式的判定,得
当且仅当时,(m-1)x2+2mx+3m-2 是完全平方式
△=0,即(2m)2-4(m-1)(3m-2)=0.
解这个方程, 得 m1=, m2=2.
解不等式 m-1>0 ,