（全国通用）2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用学案.doc

§ 平面向量的综合应用
最新考纲
考情考向分析
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主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题,求参数范围、最值等问题是考查的热点,一般以选择题、填空题的形式出现,偶尔会出现在解答题中,属于中档题.

(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|==,其中a=(x,y),a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤:
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.

向量在解析几何中的应用,,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).

平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)、解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.
知识拓展
△ABC的重心,则++=0.
+By+C=0,则向量(A,B)与直线l垂直,向量(-B,A)与直线l平行.
题组一思考辨析
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥,则A,B,C三点共线.( √)
(2)在△ABC中,若·<0,则△ABC为钝角三角形.( × )
(3)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是菱形.( √)
(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为,且|F1|=3,|F2|=5,则F1+F2的大小为.( √)
(5)设定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则点P的轨迹方程是x+2y-4=0.( √)
(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:=+t(+),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √)
题组二教材改编
2.[P108A组T5]已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为( )


答案 B
解析=(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),
∴||==2,||==4,
||==6,
∴||2+||2=||2,
∴△ABC为直角三角形.
3.[P103定义]已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=________ J.
答案 300
解析 W=F·s=|F||s|cos〈F,s〉
=6×100×cos 60°=300(J).
题组三易错自纠
△ABC中,已知=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,则实数k的值为________________.
答案-或或
解析①若A=90°,则有·=0,即2+3k=0,
解得k=-;
②若B=90°,则有·=0,
因为=-=(-1,k-3),
所以-2+3(k-3)=0,解得k=;
③若C=90°,则有·=0,即-1+k(k-3)=0,
解得k=.
综上所述,k=-或或.
,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为________.
答案 5
解析依题意得·=1×(-4)+2×2=0,
所以⊥,所以四边形ABCD的面积为
||·||=××=5.
,焦点F在x轴的正半轴上,准线与曲线E:x2+y2-6x+4y-3=0只有一个公共点,设A是抛物线M上一点,若·=-4,则点A的坐标是________________.
答案(1,2)或(1,-2)
解析设抛物线M的方程为y2=2p